Сравнение значений выражений

📐 Алгебра · 7 класс

Сравнение значений выражений

Сравнить два выражения — значит выяснить, какое из них больше, меньше или равны ли они. Для числовых выражений достаточно вычислить их значения. Для буквенных выражений приходится использовать преобразования и рассуждать о знаке разности, потому что значение зависит от букв.

Результат сравнения записывают знаками >, < или =. Эти знаки задают отношение между выражениями. Чтобы выбрать правильный знак, нужно либо посчитать оба значения, либо понять, какое выражение всегда оказывается больше при любых значениях букв.

Сравнение числовых выражений

Здесь нужно аккуратно выполнить все действия с соблюдением порядка операций и сравнить полученные числа.

3^2 + 4 ? 5*4
9 + 4 ? 20
13 < 20

Сначала возвели в степень и выполнили умножение, затем сложение, и только потом сравнили итоговые числа. Значит, первое выражение меньше второго, что и записывают знаком <. Знак вопроса в записи показывает, что отношение между выражениями пока не известно; после вычислений его заменяют на нужный знак сравнения.

Сравнение с помощью разности

Правило: чтобы сравнить выражения A и B, рассматривают их разность A - B. Если A - B > 0, то A > B; если A - B < 0, то A < B; если A - B = 0, то выражения равны.

Разность `A - B`	Вывод
положительна	`A > B`
отрицательна	`A < B`
равна нулю	`A = B`

Разобранный пример с буквами

Сравним выражения (a + 1)^2 и a^2 + 2a.

(a+1)^2 - (a^2 + 2a) = a^2 + 2a + 1 - a^2 - 2a = 1

Раскрыли квадрат суммы по формуле сокращённого умножения, затем аккуратно вычли второе выражение, не потеряв знак перед скобкой. Все слагаемые с буквой сократились, осталось число 1. Разность равна 1, то есть всегда положительна. Значит, при любом значении a верно (a+1)^2 > a^2 + 2a.

Опора на свойства

Часто помогает то, что квадрат любого числа неотрицателен: a^2 >= 0. Этот факт позволяет доказывать неравенства, не вычисляя конкретные значения. Например, выражение a^2 + 1 всегда больше нуля, потому что к неотрицательному квадрату прибавляют положительное число. Подобные рассуждения называют доказательством неравенства и активно используют в курсе алгебры.

Частые ошибки: нарушают порядок действий в числовых выражениях; при вычислении разности теряют знак минус перед скобкой; делают вывод по одному значению буквы вместо общего рассуждения; путают знаки > и <.

Кратко о главном

Числовые выражения сравнивают, вычислив их значения.
Буквенные выражения сравнивают через знак разности A - B.
Положительная разность означает A > B, отрицательная — A < B.
Нулевая разность означает равенство выражений.
Свойство a^2 >= 0 часто помогает в доказательствах.

← Предыдущая тема

Знак степени и чётность показателя

Следующая тема →

График прямой пропорциональности