Метод сложения при решении систем
📐 Алгебра · 7 класс
Метод сложения при решении систем
Метод сложения (его также называют методом алгебраического сложения) — это способ решения системы двух линейных уравнений, при котором уравнения складывают или вычитают так, чтобы одна из переменных исчезла. После этого остаётся одно уравнение с одной неизвестной.
Идея метода
Если в двух уравнениях коэффициенты при одной и той же переменной противоположны (например, +y и -y), то при сложении уравнений эта переменная пропадает. Если коэффициенты одинаковы, уравнения вычитают. Иногда перед этим уравнения умножают на подходящие числа, чтобы коэффициенты стали противоположными или равными.
Алгоритм
- При необходимости умножить уравнения на числа, чтобы коэффициенты при одной переменной стали противоположными или равными.
- Сложить или вычесть уравнения, исключив одну переменную.
- Решить полученное уравнение с одной переменной.
- Подставить найденное значение и найти вторую переменную.
Разобранный пример
Решим систему: 3x + y = 10 и x - y = 2.
Коэффициенты при y противоположны (+1 и -1), поэтому складываем уравнения:
(3x + y) + (x - y) = 10 + 2
4x = 12, значит x = 3.
Подставим в x - y = 2: 3 - y = 2, отсюда y = 1. Ответ: (3; 1).
Когда умножать уравнения
| Коэффициенты при переменной | Что делать |
|---|---|
| противоположные | сложить уравнения |
| одинаковые | вычесть уравнения |
| разные по модулю | сначала умножить, потом сложить или вычесть |
Пример с умножением
В системе 2x + 3y = 13 и x + y = 5 умножим второе уравнение на 2, получим 2x + 2y = 10. Теперь вычтем его из первого: (2x + 3y) - (2x + 2y) = 13 - 10, то есть y = 3. Затем x = 5 - 3 = 2.
Частые ошибки. При вычитании уравнений следите за знаками всех слагаемых второго уравнения — их нужно поменять. Если умножаете уравнение на число, умножайте каждое слагаемое, включая правую часть. Пропуск множителя у свободного члена — частая ошибка.
Когда удобен метод сложения
Метод особенно удобен, когда коэффициенты при какой-то переменной уже противоположны или легко уравниваются. Если же в одном из уравнений переменная выражена явно, проще применить метод подстановки.
Подбор множителей
Когда коэффициенты при переменной разные, нужно подобрать числа, на которые умножают уравнения, чтобы коэффициенты стали равными по модулю. Обычно берут наименьшее общее кратное коэффициентов. Например, если при x стоят коэффициенты 2 и 3, первое уравнение умножают на 3, второе на 2 — оба коэффициента станут равны 6, и после вычитания переменная x исчезнет.
Проверка результата
Как и в методе подстановки, найденную пару чисел обязательно проверяют, подставляя её в оба исходных уравнения. Если хотя бы одно равенство не выполняется, значит, где-то допущена ошибка в вычислениях. Проверка особенно важна при умножении уравнений, ведь именно там легче всего потерять множитель у свободного члена и получить неверный ответ.
Кратко о главном
- Уравнения складывают или вычитают, чтобы исключить переменную.
- При противоположных коэффициентах складывают, при равных вычитают.
- Иногда уравнения сначала умножают на числа.
- Умножать нужно каждое слагаемое уравнения.
- Ответ — пара чисел, его стоит проверить подстановкой.