Деление степеней с одинаковыми основаниями

Деление степеней с одинаковыми основаниями

Деление степеней с одинаковыми основаниями — одно из основных свойств степени с натуральным показателем, изучаемых в седьмом классе. Оно показывает, что при делении степеней с равными основаниями достаточно вычесть показатели, оставив основание прежним. Это свойство тесно связано с правилом умножения степеней и вместе с ним образует основу всех преобразований выражений со степенями.

Формулировка правила

При делении степеней с одинаковыми основаниями основание оставляют тем же, а из показателя делимого вычитают показатель делителя: a^m : a^n = a^(m - n), при условии что a не равно нулю и m больше n.

Почему так получается, легко понять на простом примере. Запись a^5 : a^2 означает, что в числителе пять множителей a, а в знаменателе два. Два множителя сокращаются, остаётся три: a^3. Основание не может быть равно нулю, иначе деление было бы невозможным.

Нулевой показатель степени

Из правила деления естественно вытекает понятие нулевого показателя. Если разделить степень саму на себя, получится a^m : a^m = a^0. С другой стороны, частное двух одинаковых чисел равно единице. Поэтому принимают определение:

Любое число, кроме нуля, в нулевой степени равно единице: a^0 = 1 при a не равном нулю.

Разобранный пример

Упростим 12y^8 : (4y^5). Отдельно делим числа и отдельно степени:

12y^8 : (4y^5) = (12 : 4)*y^(8 - 5) = 3y^3

Сначала делим коэффициенты 12 на 4 и получаем 3, затем вычитаем показатели степеней буквы y и получаем y^3. Такой порядок действий удобен и в более сложных выражениях.

Где это применяют

Деление степеней используют при упрощении дробей, в которых числитель и знаменатель содержат степени, при работе с одночленами и многочленами, а также в физике и геометрии, где встречаются буквенные формулы. Это базовое свойство, без которого нельзя обойтись в дальнейшем.

Полезно сравнить правило деления с правилом умножения степеней. При умножении показатели складывают, а при делении вычитают — действия противоположные, как и сами операции. Если держать в голове эту пару, перепутать формулы практически невозможно. А нулевой показатель степени служит удобным мостиком между ними: он появляется ровно тогда, когда делимое и делитель равны.

Частые ошибки

Помни: при делении показатели вычитают, а не делят. Запись a^8 : a^2 = a^4 неверна; правильно a^6. Применять правило можно только при одинаковых основаниях: выражения a^5 : b^2 так упростить нельзя.

Кратко о главном

• Правило деления: a^m : a^n = a^(m - n) при a не равном нулю.
• Основание остаётся прежним, показатели вычитают.
• Любое ненулевое число в нулевой степени равно единице: a^0 = 1.
• Правило работает только для одинаковых оснований.
• Сначала делят коэффициенты, затем степени.