Пропорция и её свойства

Понятие пропорции

Пропорция — это равенство двух отношений: a : b = c : d, или, в виде дробей, a/b = c/d. Числа a и d называют крайними членами пропорции, а b и c — средними. Пропорции применяют в задачах на проценты, масштаб карты, скорость движения, смеси и сплавы. В алгебре такую задачу почти всегда сводят к уравнению.

Отношением двух чисел называют их частное. Если два отношения равны, их объединяют в пропорцию, и тогда становится доступным мощный приём решения — основное свойство.

Основное свойство пропорции

Правило. В верной пропорции произведение крайних членов равно произведению средних: если a/b = c/d, то a*d = b*c. Это свойство превращает любую пропорцию в обычное линейное уравнение.

Справедливо и обратное: если для четырёх чисел произведение крайних равно произведению средних, то из них можно составить верную пропорцию. Поэтому основное свойство используют и для проверки, и для решения.

Поиск неизвестного члена

Чтобы найти неизвестный крайний член, делят произведение средних на известный крайний. Чтобы найти средний член, делят произведение крайних на известный средний.

x / 6 = 10 / 4 по основному свойству: x * 4 = 6 * 10 4*x = 60 x = 60 / 4 = 15 Проверка: 15/6 = 2,5 и 10/4 = 2,5 -> верно.

Сводка приёмов

Неизвестный член	Как найти	Пример
Крайний	произведение средних делим на крайний	x/3 = 8/6, x = 3*8/6 = 4
Средний	произведение крайних делим на средний	2/x = 4/10, x = 2*10/4 = 5

Перестановки в пропорции

Из одной верной пропорции можно получить новые верные пропорции: поменять местами крайние члены, поменять местами средние или перевернуть оба отношения. Все они равносильны исходной и иногда упрощают вычисления. Например, из a/b = c/d следует a/c = b/d.

Эти перестановки удобны, когда неизвестное стоит в неудобном месте. Перевернув оба отношения, мы можем перенести неизвестное из знаменателя в числитель и тем самым упростить дальнейшее решение. При этом основное свойство пропорции остаётся в силе, ведь произведение крайних по-прежнему равно произведению средних.

Пример прикладной задачи

На карте 2 см соответствуют 50 км. Сколько км в 7 см? 2 / 50 = 7 / x 2*x = 50*7 2*x = 350 x = 175 км.

Частая ошибка. Перемножают члены неправильно — умножают крайний на средний из соседней дроби. Запомните схему «крест-накрест»: крайний перемножается с крайним, средний — со средним.

Кратко о главном

• Пропорция — это равенство двух отношений.
• Основное свойство: произведение крайних равно произведению средних.
• Неизвестный член находят из полученного уравнения.
• Из верной пропорции получают другие верные пропорции перестановками членов.