Системы линейных уравнений
📐 Алгебра · 7 класс
Что такое система линейных уравнений
Система линейных уравнений с двумя переменными — это два уравнения вида ax + by = c, которые нужно решить совместно. Решением системы называют пару чисел (x; y), которая обращает в верное равенство оба уравнения одновременно. Систему записывают с фигурной скобкой слева, объединяющей уравнения.
Метод подстановки
В одном из уравнений выражают одну переменную через другую и подставляют это выражение во второе уравнение. Получается уравнение с одной переменной, которое уже легко решить. Найдя одну переменную, подставляют её обратно и находят вторую.
Пошаговый пример (подстановка)
Дано: { y = x + 1
{ 2x + y = 7
Шаг 1. y уже выражен: y = x + 1.
Шаг 2. Подставляем во 2-е уравнение:
2x + (x + 1) = 7
Шаг 3. Решаем: 3x + 1 = 7
3x = 6 → x = 2
Шаг 4. Находим y: y = 2 + 1 = 3.
Ответ: (2; 3).Метод сложения (алгебраического)
Уравнения складывают или вычитают так, чтобы одна из переменных исчезла. Иногда для этого одно или оба уравнения предварительно умножают на подходящие числа, чтобы коэффициенты при одной переменной стали противоположными.
Графический метод
Каждое уравнение задаёт прямую. Их строят на одной координатной плоскости. Координаты точки пересечения прямых и есть решение системы. Этот метод нагляден, но даёт точный ответ только при «красивых» числах, поэтому его чаще используют для понимания, сколько у системы решений, а сами числа находят алгебраически.
Текстовые задачи на системы
Системы уравнений незаменимы там, где в задаче две неизвестные величины и два условия. Обе величины обозначают буквами, по каждому условию составляют уравнение, а затем решают систему. Например, если известны сумма двух чисел и их разность, по этим двум фактам составляют два уравнения и легко находят оба числа методом сложения.
| Взаимное положение прямых | Число решений |
|---|---|
| пересекаются в одной точке | одно решение |
| параллельны (не совпадают) | решений нет |
| совпадают | бесконечно много |
Пример метода сложения
Решим систему методом сложения, где переменная исчезает сразу.
Дано: { x + y = 10
{ x − y = 4
Шаг 1. Складываем уравнения почленно.
y и −y взаимно уничтожаются:
2x = 14
Шаг 2. x = 7.
Шаг 3. Подставляем в первое уравнение:
7 + y = 10 → y = 3.
Ответ: (7; 3).Практическое правило. Подстановку удобно применять, когда в каком-то уравнении переменная уже выражена или её коэффициент равен 1. Метод сложения хорош, когда коэффициенты при одной переменной одинаковы или противоположны. Всегда проверяй найденную пару, подставив её в оба уравнения: она должна обращать в верное равенство и первое, и второе.
Кратко о главном
- Решение системы — пара (x; y), верная для обоих уравнений.
- Подстановка: выразить переменную и подставить в другое уравнение.
- Сложение: уравнять коэффициенты и убрать одну переменную сложением.
- Графически решение — точка пересечения прямых.
- Система может иметь одно решение, ни одного или бесконечно много.