Тождества и тождественные преобразования
📐 Алгебра · 7 класс
Тождества и тождественные преобразования
Тождеством называют равенство, которое верно при любых допустимых значениях входящих в него букв. В отличие от уравнения, которое выполняется лишь при некоторых значениях переменной, тождество справедливо всегда. Например, равенство a + b = b + a — это тождество, потому что от перестановки слагаемых сумма не меняется при любых a и b. Понятие тождества — одно из ключевых в алгебре, ведь именно тождества позволяют заменять выражения более удобными.
Равенство, уравнение и тождество
Важно различать три похожих понятия. Запись со знаком «равно» может означать разное в зависимости от того, при каких значениях букв она верна.
| Запись | Когда верна | Название |
|---|---|---|
2 + 3 = 5 | всегда (числовое) | верное равенство |
x + 4 = 9 | только при x = 5 | уравнение |
2(x + 3) = 2x + 6 | при любом x | тождество |
x + 1 = x + 2 | никогда | неверное равенство |
Тождественные преобразования
Тождественным преобразованием называют замену одного выражения другим, тождественно равным ему. Именно такие преобразования мы выполняем, когда раскрываем скобки, приводим подобные слагаемые или выносим общий множитель. Они не меняют значение выражения ни при каких значениях переменных, а лишь придают ему более удобный вид. Два выражения называют тождественно равными, если при любых значениях переменных их значения совпадают.
Основой тождественных преобразований служат законы действий, которые вы знаете из арифметики:
- переместительный:
a + b = b + a,ab = ba; - сочетательный:
(a + b) + c = a + (b + c),(ab)c = a(bc); - распределительный:
a(b + c) = ab + ac.
Разобранный пример
Докажем тождество 3(x - 2) + 2x = 5x - 6.
Преобразуем левую часть:
3(x - 2) + 2x = 3x - 6 + 2x(раскрыли скобки по распределительному закону);
= (3x + 2x) - 6 = 5x - 6(привели подобные слагаемые).Левая часть совпала с правой, значит, равенство — тождество.
Чтобы доказать тождество, можно поступать тремя способами: преобразовать левую часть к правой; преобразовать правую часть к левой; или преобразовать обе части к одному и тому же выражению. Любой из этих путей считается верным доказательством.
Частые ошибки. Чтобы доказать тождество, преобразуют одну часть к другой или обе части к одному виду, но нельзя переносить слагаемые из части в часть, как в уравнении: тождество — это не уравнение, которое нужно «решать». Также при раскрытии скобок со знаком минус нужно менять знаки всех слагаемых:-(x - 3) = -x + 3, а не-x - 3. И помните, что подобными являются только слагаемые с одинаковой буквенной частью.
Кратко о главном
- Тождество — равенство, верное при любых допустимых значениях букв.
- Уравнение верно только при отдельных значениях переменной.
- Тождественное преобразование заменяет выражение равным ему и не меняет его значения.
- Опора преобразований — переместительный, сочетательный и распределительный законы.
- Доказать тождество можно, приведя обе части к одному виду.