Степень произведения и степень частного

Степень произведения и степень частного

Среди свойств степени с натуральным показателем, изучаемых в седьмом классе, есть два правила, связанные с возведением в степень произведения и дроби. Они позволяют упрощать буквенные выражения, в которых несколько множителей или дробь возводятся в одну и ту же степень. Эти правила дополняют свойства умножения и деления степеней и часто применяются вместе с ними.

Степень произведения

Чтобы возвести в степень произведение, нужно возвести в эту степень каждый множитель и результаты перемножить: (a*b)^n = a^n * b^n.

Это правило вытекает из определения степени и переместительного закона умножения. Например, (a*b)^3 означает a*b*a*b*a*b, что после перестановки множителей равно a^3 * b^3. Правило справедливо и для произведения трёх и более множителей.

Степень частного

Чтобы возвести в степень дробь, нужно возвести в эту степень и числитель, и знаменатель: (a : b)^n = a^n : b^n, при условии что b не равно нулю.

Разобранный пример

Упростим выражение (3a^2*b)^2. Возводим в квадрат каждый множитель, не забывая правило возведения степени в степень:

(3a^2*b)^2 = 3^2 * (a^2)^2 * b^2 = 9a^4*b^2

Здесь число 3 возведено в квадрат и дало 9, а показатель степени буквы a умножился на 2 и стал равен 4. Буква b была в первой степени и стала во второй.

Связь с другими свойствами

Правила степени произведения и частного редко применяют по отдельности. Чаще они идут в связке с умножением степеней, делением степеней и возведением степени в степень. Зная все эти свойства, можно упростить почти любое выражение со степенями, выполняя действия по шагам и не теряя множителей.

Эти правила работают и в обратную сторону. Например, выражение a^4 * b^4 можно свернуть в (a*b)^4, а 8x^3 представить как (2x)^3. Такое сворачивание помогает быстрее считать и иногда упрощает громоздкую запись. Поэтому полезно уметь применять правила в обе стороны, узнавая знакомую структуру в выражении.

Частые ошибки

Осторожно! Возводить в степень нужно каждый множитель, включая числовой коэффициент. Частая ошибка — записать (2x)^3 = 2x^3, забыв возвести в куб двойку. Правильно 8x^3. Правило работает только для произведения и частного, но не для суммы: (a + b)^2 так раскрывать нельзя.

Кратко о главном

• Степень произведения: (a*b)^n = a^n * b^n.
• Степень частного: (a : b)^n = a^n : b^n при b не равном нулю.
• В степень возводят каждый множитель, включая числовой коэффициент.
• Для суммы и разности эти правила не применяются.
• Свойство применяют вместе с другими свойствами степеней.