Знак степени и чётность показателя

Знак степени и чётность показателя

При возведении числа в степень знак результата зависит от знака основания и от чётности показателя. Положительное число в любой натуральной степени остаётся положительным. А вот для отрицательного основания знак результата определяется тем, чётный или нечётный показатель степени.

Степень с натуральным показателем — это произведение нескольких одинаковых множителей. Например, a^4 означает a*a*a*a. Если множитель отрицательный, важно, сколько раз он повторяется: минусы перемножаются попарно и взаимно уничтожаются. Именно отсюда и берётся правило о чётности.

Основное правило

Правило знака: отрицательное число в чётной степени даёт положительный результат, а в нечётной степени — отрицательный. Это связано с тем, что минусы попарно сокращаются: чётное число минусов даёт плюс, а один лишний минус при нечётном показателе сохраняется.

Например, (-2)^2 = 4, потому что (-2)*(-2) = 4. А (-2)^3 = -8, потому что один множитель остаётся без пары: (-2)*(-2)*(-2) = 4*(-2) = -8. Чем выше показатель, тем длиннее цепочка множителей, но знак всё равно определяется только её чётностью: достаточно посмотреть, делится ли показатель на два без остатка.

Скобки решают всё

Важно различать выражения (-2)^4 и -2^4. В первом случае в степень возводится число -2 целиком, и результат равен 16. Во втором минус стоит вне степени, возводится только 2, поэтому результат равен -16.

Разница только в скобках, но ответы отличаются и по знаку, и по смыслу. Поэтому при записи отрицательного основания скобки обязательны.

Где применяют

Это правило используют при вычислении значений выражений, в формулах сокращённого умножения и при работе со знакочередующимися степенями. Например, выражение (-1)^n равно 1 при чётном n и -1 при нечётном — этот приём встречается во многих задачах. Знание правила экономит время: можно сразу указать знак результата, не выполняя всё умножение.

Частые ошибки: считают (-2)^4 отрицательным; путают -2^4 и (-2)^4; забывают, что положительное основание всегда даёт положительный результат; неверно определяют чётность большого показателя.

Кратко о главном

• Положительное число в любой степени положительно.
• Отрицательное число в чётной степени положительно, в нечётной — отрицательно.
• Скобки определяют, что именно возводится в степень.
• (-a)^n и -a^n — разные выражения.
• Знак (-1)^n зависит только от чётности показателя.