Сложение и вычитание многочленов

Действия с многочленами

Сложением и вычитанием многочленов называют объединение двух или нескольких многочленов в один с последующим приведением подобных слагаемых. Результат таких действий — снова многочлен. Эти действия лежат в основе почти всех преобразований целых выражений, поэтому выполнять их нужно уверенно и без ошибок.

Главный приём здесь — правильное раскрытие скобок. Перед скобкой может стоять знак «плюс» или «минус», и от этого зависит, как изменятся знаки слагаемых внутри скобки.

Правила раскрытия скобок

• Если перед скобкой стоит знак «плюс», слагаемые внутри переписывают без изменений.
• Если перед скобкой стоит знак «минус», знаки всех слагаемых меняют на противоположные.

В виде формул это выглядит так:

+(a - b) = a - b

-(a - b) = -a + b

Разбор примера

Найдём сумму и разность многочленов P = 3x_2 - 2x + 5 и Q = x_2 + 4x - 1.

Сначала сумма:

P + Q = (3x_2 - 2x + 5) + (x_2 + 4x - 1) = 4x_2 + 2x + 4

Теперь разность:

P - Q = (3x_2 - 2x + 5) - (x_2 + 4x - 1) = 2x_2 - 6x + 6

Удобно складывать члены одинаковой степени, как бы выстраивая их «столбиком» по разрядам. Такой способ записи помогает не перепутать слагаемые разных степеней и сразу видеть, какие из них подобны.

Многочлены с несколькими переменными

Если в многочленах есть несколько букв, подобными считаются слагаемые с одинаковым набором переменных и одинаковыми показателями. Например, при сложении (2ab + 3a) + (5ab - a) получится 7ab + 2a: слагаемые 2ab и 5ab подобны, а 3a и -a — тоже подобны между собой.

Частая ошибка. При вычитании ученики меняют знак только у первого слагаемого второго многочлена. Например, пишут P - Q = 2x_2 - 6x + 4, забыв изменить знак у -1. Менять знак нужно у всех членов вычитаемого многочлена без исключения.

Запись в столбик

Когда многочлены содержат много слагаемых, удобно записывать их друг под другом, выстраивая подобные члены в один столбец. Тогда сложение или вычитание сводится к работе со столбцами, как при сложении чисел в столбик. Пустые места оставляют для отсутствующих степеней, чтобы ничего не перепутать. Такой способ особенно полезен при действиях с многочленами высокой степени, где легко потерять слагаемое.

Где это нужно

Сложение и вычитание многочленов используют при упрощении выражений, в задачах на периметр и площадь фигур, а также при подготовке к решению уравнений. Например, если стороны прямоугольника заданы многочленами, то периметр находят, складывая их и умножая сумму на два. Эти навыки понадобятся и в старших классах при работе с более сложными выражениями, дробями и уравнениями, поэтому отрабатывать их стоит до полного автоматизма.

Кратко о главном

• Сложение и вычитание многочленов сводится к раскрытию скобок и приведению подобных.
• Знак «плюс» перед скобкой сохраняет знаки, знак «минус» — меняет их на противоположные.
• Складывают и вычитают только члены одинаковой степени с одинаковыми переменными.
• При вычитании меняют знак у всех членов вычитаемого многочлена.