Линейные уравнения с модулем

Линейные уравнения с модулем

Модуль числа, или абсолютная величина, — это расстояние от точки на координатной прямой до начала отсчёта. Расстояние не бывает отрицательным, поэтому модуль любого числа неотрицателен. В седьмом классе на основе этого понятия учатся решать простейшие линейные уравнения, содержащие знак модуля. Такие уравнения показывают, как одно равенство может приводить сразу к нескольким случаям.

Определение модуля

Модуль неотрицательного числа равен самому числу, а модуль отрицательного числа равен числу, противоположному ему: если a не меньше нуля, то модуль равен a; если a меньше нуля, то модуль равен -a.

Например, модуль числа 5 равен 5, а модуль числа -5 тоже равен 5. Модуль нуля равен нулю. Важно понимать: запись -a вовсе не означает отрицательное число — если a отрицательно, то -a положительно.

Решение простейшего уравнения

Уравнение вида «модуль выражения равен числу» решают по правилу: если справа стоит положительное число b, то выражение под модулем равно либо b, либо -b. Это связано с тем, что на одинаковом расстоянии от нуля находятся ровно две точки.

Разобранный пример

Решим уравнение, где модуль выражения (x - 3) равен 5. Раскрываем модуль двумя случаями:

x - 3 = 5, отсюда x = 8;
x - 3 = -5, отсюда x = -2.

Получаем два корня: x = 8 и x = -2. Оба значения находятся на расстоянии 5 от точки 3 на координатной прямой. Проверить корни можно подстановкой: модуль выражения 8 - 3 равен 5, и модуль выражения -2 - 3 тоже равен 5.

Геометрический смысл

Модуль удобно представлять как расстояние. Уравнение, где модуль выражения (x - 3) равен 5, можно прочитать так: «найти все точки, удалённые от точки 3 на расстояние 5». Таких точек ровно две — слева и справа. Этот образ помогает не забывать про второй корень.

Тот же приём работает и для более простых уравнений. Если модуль самого x равен числу 7, то x равен 7 или -7 — это две точки на одинаковом расстоянии от нуля. А если под модулем стоит выражение посложнее, его всё равно приравнивают к числу и к противоположному ему числу, после чего решают два обычных линейных уравнения.

Частые ошибки

Внимание! Нельзя забывать второй случай со знаком минус — иначе потеряется один корень. Если же правая часть отрицательна, например модуль выражения равен -4, то уравнение решений не имеет, и нет смысла раскрывать модуль.

Кратко о главном

• Модуль — это расстояние до нуля, оно всегда неотрицательно.
• Если модуль выражения равен положительному b, выражение равно b или -b.
• Если правая часть равна нулю — один корень, если отрицательна — корней нет.
• Главное — не потерять второй случай со знаком минус.
• Найденные корни полезно проверять подстановкой.