Числовые промежутки
📐 Алгебра · 7 класс
Числовые промежутки
Числовой промежуток — это множество всех чисел, расположенных на числовой прямой между некоторыми границами или по одну сторону от границы. Промежутки удобно использовать для записи ответов в неравенствах и для указания области определения функции.
Виды промежутков
Различают несколько видов промежутков в зависимости от того, входят границы в множество или нет. Если граница входит, её отмечают закрашенной точкой и квадратной скобкой; если не входит — пустой точкой и круглой скобкой.
| Название | Запись | Условие |
|---|---|---|
| Отрезок | [a; b] | a <= x <= b |
| Интервал | (a; b) | a < x < b |
| Полуинтервал | [a; b) | a <= x < b |
| Луч | [a; +бесконечность) | x >= a |
| Открытый луч | (-бесконечность; b) | x < b |
Закрашенные и пустые точки
На числовой прямой граница, которая входит в промежуток, изображается закрашенным кружком, а граница, которая не входит, — пустым. Знак бесконечности всегда записывают с круглой скобкой, потому что бесконечность не является числом и не может входить в множество.
Разобранный пример
Запишем промежуток для условия x >= 2. Это все числа, начиная с двойки и больше. Двойка входит, поэтому ставим квадратную скобку:
x принадлежит [2; +бесконечность)
А для условия -1 < x <= 5 левая граница не входит, правая входит:
x принадлежит (-1; 5]
Применение в неравенствах
Решая линейное неравенство, ответ часто записывают именно промежутком. Например, решение неравенства x - 3 > 0, то есть x > 3, записывается как (3; +бесконечность).
Частые ошибки. Не путайте скобки: квадратная означает, что граница входит, круглая — что не входит. Возле знака бесконечности всегда только круглая скобка. Также следите за порядком: меньшее число записывают слева, большее — справа.
Зачем нужны промежутки
Промежутки делают запись множеств краткой и понятной. Вместо длинной фразы «все числа, большие двух и меньшие семи» достаточно написать (2; 7). Это особенно удобно в старших классах при решении систем неравенств.
Изображение на числовой прямой
Любой промежуток удобно показать на числовой прямой. Сначала отмечают границы точками: закрашенными, если граница входит, и пустыми, если не входит. Затем нужную часть прямой выделяют штриховкой. Например, для отрезка [1; 4] закрашивают точки 1 и 4 и заштриховывают всё между ними. Для луча (2; +бесконечность) ставят пустую точку в двойке и проводят штриховку вправо без конца.
Объединение промежутков
Иногда ответ состоит из нескольких промежутков сразу. Тогда их соединяют знаком объединения. Например, запись (-бесконечность; 0) и (3; +бесконечность) означает все числа, которые либо меньше нуля, либо больше трёх, но не числа от нуля до трёх. Такие составные ответы часто появляются при решении систем и совокупностей неравенств в следующих классах.
Кратко о главном
- Числовой промежуток — множество чисел на прямой между границами.
- Квадратная скобка — граница входит, круглая — не входит.
- Виды: отрезок, интервал, полуинтервал, луч.
- Возле бесконечности всегда круглая скобка.
- Промежутки удобны для записи ответов в неравенствах.