Деление многочлена на одночлен

Когда многочлен делится на одночлен

Деление многочлена на одночлен — это действие, при котором каждый член многочлена делят на данный одночлен и результаты складывают. Деление выполнимо нацело только в том случае, когда каждое слагаемое многочлена делится на этот одночлен без остатка. Если хотя бы одно слагаемое не делится, нацело разделить многочлен нельзя.

Правило записывают так:

(a + b + c) : m = a:m + b:m + c:m

По сути это действие обратно умножению одночлена на многочлен: если многочлен получили умножением на одночлен, то делением на тот же одночлен его можно «разобрать» обратно.

Как делить степени

При делении степеней с одинаковым основанием показатели вычитают:

x_5 : x_2 = x_3

Числовые коэффициенты делят как обычные числа. Поэтому деление одночлена на одночлен сводится к двум простым операциям: делению чисел и вычитанию показателей. Важно помнить, что показатель степени в делителе не может превышать показатель в делимом, если мы хотим получить целое выражение.

Разбор примера

Разделим многочлен 12a_3 - 8a_2 + 4a на одночлен 4a:

(12a_3 - 8a_2 + 4a) : 4a = 3a_2 - 2a + 1

Обратите внимание: последнее слагаемое дало единицу, потому что a:a = 1, а степень с нулевым показателем равна единице. Этот момент часто упускают и пишут вместо единицы букву a или вовсе ноль.

Ещё один пример

Разделим 15x_4·y - 10x_2·y на 5x_2·y:

(15x_4·y - 10x_2·y) : 5x_2·y = 3x_2 - 2

Здесь общий множитель 5x_2·y присутствовал в каждом слагаемом, поэтому деление прошло нацело.

Проверка результата

Чтобы убедиться в правильности деления, можно умножить полученный многочлен обратно на одночлен. Если получится исходный многочлен, деление выполнено верно. Эта проверка особенно полезна на контрольных работах, когда нет возможности свериться с ответом.

Правило. Многочлен делится на одночлен нацело тогда и только тогда, когда каждое его слагаемое содержит множитель, на который делят. Например, (6x_2 + 5) : 3x нацело не делится, потому что число 5 не содержит множителя x.

Связь с вынесением общего множителя

Деление многочлена на одночлен тесно связано с вынесением общего множителя за скобки. Когда мы выносим за скобки общий множитель, в скобках остаётся как раз частное от деления многочлена на этот множитель. Например, выражение 12a_3 - 8a_2 + 4a можно записать как 4a·(3a_2 - 2a + 1), и многочлен в скобках — это результат деления, который мы получили выше. Поэтому, научившись делить многочлен на одночлен, вы заодно осваиваете и обратный приём, который часто нужен при разложении на множители.

Когда удобнее представить частное дробью

Если многочлен делится на одночлен не нацело, частное всё равно можно записать почленно, оставив отдельные слагаемые в виде дробей. Так, (6x_2 + 3x + 1) : 3x почленно даёт 2x + 1 + 1:(3x). Последнее слагаемое осталось дробным, потому что единица не делится на 3x нацело. В седьмом классе чаще встречаются примеры с нацело делящимися многочленами, но понимать общий случай тоже полезно.

Кратко о главном

• Многочлен делится на одночлен почленно: каждое слагаемое делят отдельно.
• При делении степеней с одинаковым основанием показатели вычитают.
• Деление нацело возможно, если каждое слагаемое делится на одночлен.
• Частное a:a равно единице, а не нулю.
• Проверить ответ можно обратным умножением частного на делитель.