Нули функции

Что такое нуль функции

Нуль функции — это такое значение аргумента, при котором значение функции равно нулю. На графике нули функции — это точки пересечения графика с осью абсцисс, то есть с осью Ox. Понятие нуля помогает анализировать поведение функции, решать уравнения и читать готовые графики.

Чтобы найти нули функции y = f(x), нужно решить уравнение f(x) = 0. Каждый корень этого уравнения и будет нулём функции. Таким образом, тема нулей тесно связана с темой уравнений: одно сводится к другому.

Нули линейной функции

Линейная функция задаётся формулой y = k*x + b. Чтобы найти её нуль, приравниваем выражение к нулю и решаем линейное уравнение:

k*x + b = 0 k*x = -b x = -b / k (при k, не равном 0)

Например, для функции y = 2*x - 6 получаем уравнение 2*x - 6 = 0, откуда x = 3. Значит, график этой функции пересекает ось Ox в точке с абсциссой 3. Подставив x = 3 обратно, убеждаемся, что y = 0.

Сколько нулей у линейной функции

Вид функции	Число нулей	Пример
k не равно 0	Ровно один	y = x - 4, нуль x = 4
k = 0, b не равно 0	Нет	y = 5, прямая не касается Ox
k = 0, b = 0	Все точки	y = 0 — сама ось Ox

Эта таблица показывает: у «настоящей» наклонной прямой всегда ровно один нуль, ведь она пересекает горизонтальную ось ровно один раз. Горизонтальная же прямая либо вовсе не касается оси, либо совпадает с ней.

Нуль по графику

Если функция задана графиком, нуль читают прямо с чертежа. Достаточно посмотреть, в какой точке линия пересекает ось Ox, и записать абсциссу этой точки. Аналогично точка пересечения с осью Oy даёт значение функции при x = 0, но это уже не нуль, а другое важное число — коэффициент b.

Связь с решением уравнений

Поиск нулей функции и решение уравнения — это, по сути, одна и та же задача. Решая уравнение 2*x - 6 = 0, мы находим число 3, и это же число является нулём функции y = 2*x - 6. Поэтому график помогает наглядно увидеть решение: там, где линия пересекает ось Ox, и находится корень соответствующего уравнения. Этот приём называют графическим способом решения уравнений.

Нули функции делят ось абсцисс на участки, на которых функция сохраняет знак. Слева и справа от нуля линейная функция принимает значения разных знаков: с одной стороны график лежит выше оси Ox, а с другой — ниже неё. Поэтому, найдя нуль, легко определить, где функция положительна, а где отрицательна, не вычисляя её значения в каждой точке.

Частая ошибка. Нуль функции — это значение аргумента, то есть число по оси Ox, а не значение самой функции. В точке-нуле функция действительно равна нулю, но в ответ записывают именно x, при котором это произошло.

Кратко о главном

• Нуль функции — это значение аргумента, при котором y = 0.
• Чтобы найти нули, решают уравнение f(x) = 0.
• На графике нули — это точки пересечения с осью Ox.
• Линейная функция при k, не равном нулю, имеет ровно один нуль.