Линейные уравнения
📐 Алгебра · 7 класс
Что такое линейное уравнение
Линейным уравнением с одной переменной называют уравнение вида ax + b = 0, где a и b — числа, а x — неизвестная переменная. Слово «линейное» означает, что переменная входит в уравнение только в первой степени: нет ни x², ни деления на x. Решить уравнение — значит найти все значения переменной, при которых равенство верно. Такие значения называют корнями.
Как решать линейное уравнение
Главный приём — переносить слагаемые из одной части в другую, меняя их знак на противоположный, а затем делить обе части на коэффициент при x. В основе лежат свойства равносильности: к обеим частям можно прибавлять одно и то же число и умножать обе части на одно и то же число, не равное нулю.
Пошаговый пример
Решим уравнение 5x − 3 = 2x + 9.
Дано: 5x − 3 = 2x + 9
Шаг 1. Переносим 2x влево, −3 вправо.
При переносе меняем знак:
5x − 2x = 9 + 3
Шаг 2. Приводим подобные:
3x = 12
Шаг 3. Делим обе части на 3:
x = 12 / 3
x = 4
Шаг 4. Проверка: 5·4 − 3 = 17,
2·4 + 9 = 17. Равенство верно.
Ответ: x = 4.Сколько корней бывает
Линейное уравнение ax + b = 0 ведёт себя по-разному в зависимости от коэффициентов. Разберём все случаи.
| Условие | Число корней | Пример |
|---|---|---|
| a ≠ 0 | один корень x = −b/a | 2x − 6 = 0 → x = 3 |
| a = 0, b ≠ 0 | корней нет | 0·x = 5 — неверно |
| a = 0, b = 0 | бесконечно много | 0·x = 0 — любой x |
Практическое правило. Перенося слагаемое через знак равенства, всегда меняй его знак. Деля на коэффициент, дели и числитель, и всю правую часть. И обязательно делай проверку — подставь найденный корень в исходное уравнение: если получилось верное числовое равенство, корень найден правильно.
Уравнения со скобками и дробями
Если есть скобки, их сначала раскрывают, не забывая менять знаки за минусом. Если есть дроби, удобно умножить обе части на общий знаменатель, чтобы избавиться от дробей. После этих преобразований уравнение всё равно сводится к виду ax + b = 0. Общий порядок действий такой: раскрыть скобки, перенести неизвестные в левую часть, а числа — в правую, привести подобные и разделить на коэффициент при переменной.
Задачи, сводящиеся к уравнениям
Линейные уравнения — главный инструмент решения текстовых задач. Неизвестную величину обозначают буквой x, по условию составляют равенство и решают его. Например, если задумали число, прибавили к нему 7 и получили 19, составляем уравнение x + 7 = 19 и находим x = 12. Так алгебра превращает словесное условие в точную формулу.
Кратко о главном
- Линейное уравнение имеет вид ax + b = 0, переменная в первой степени.
- Решают переносом слагаемых (со сменой знака) и делением на коэффициент.
- При a ≠ 0 корень один: x = −b/a.
- Возможны случаи без корней и с бесконечным множеством корней.
- Проверка подстановкой защищает от ошибок.