Возведение одночлена в степень
📐 Алгебра · 7 класс
Возведение одночлена в степень
Чтобы возвести одночлен в натуральную степень, используют свойства степеней. Возведение одночлена в степень означает, что в эту степень нужно возвести и числовой коэффициент, и каждую буквенную часть одночлена. Это действие часто встречается при упрощении выражений и при работе с формулами сокращённого умножения.
Одночлен — это произведение числа и степеней переменных. А произведение, возведённое в степень, равно произведению множителей в той же степени. Поэтому возведение одночлена в степень сводится к двум уже известным свойствам степеней. Это удобно: вместо того чтобы выписывать одночлен множителем несколько раз и долго перемножать, достаточно применить готовые правила к каждой части по отдельности и сразу получить ответ. Такой приём экономит время и снижает риск ошибиться в вычислениях.
Какие свойства используют
Здесь работают два правила: степень произведения и возведение степени в степень.
(a*b)^n = a^n * b^n
(a^m)^n = a^(m*n)Правило: при возведении одночлена в степень коэффициент возводят в эту степень как число, а показатели степеней букв умножают на показатель внешней степени. Каждую часть одночлена обрабатывают отдельно, ничего не пропуская.
| Одночлен | Возводим | Результат |
|---|---|---|
(2x)^3 | 2^3 * x^3 | 8x^3 |
(a^2)^4 | a^(2*4) | a^8 |
(3ab^2)^2 | 3^2 a^2 b^4 | 9a^2b^4 |
(5m)^2 | 5^2 m^2 | 25m^2 |
Разобранный пример
Возведём в квадрат одночлен -4x^3y.
(-4x^3y)^2 = (-4)^2 * (x^3)^2 * y^2 = 16 * x^6 * y^2 = 16x^6y^2Коэффициент -4 возвели в квадрат и получили 16: минус исчез, так как показатель чётный. Показатель буквы x умножили на показатель внешней степени: 3*2 = 6. У буквы y показатель 1 стал 2. Итог: 16x^6y^2.
Внимание к знаку
Если коэффициент отрицательный, знак результата зависит от чётности внешней степени. В чётной степени минус исчезает, в нечётной — сохраняется. Сравните: (-2a)^2 = 4a^2, но (-2a)^3 = -8a^3. Это то же правило знака, что и для обычных чисел. Поэтому перед возведением полезно отдельно определить знак результата по чётности показателя, а затем уже возводить в степень модуль коэффициента и буквы. Такой порядок действий помогает не запутаться в знаках даже в громоздких одночленах.
Частые ошибки: возводят в степень только коэффициент, забывая буквы; складывают показатели вместо умножения при возведении степени в степень; теряют знак при отрицательном коэффициенте; не возводят коэффициент в степень, оставляя его без изменения.
Кратко о главном
- В степень возводят и коэффициент, и все буквы одночлена.
- Коэффициент возводят в степень как число.
- Показатели букв умножают на внешний показатель.
- Знак результата зависит от чётности степени.
- Используют свойства степени произведения и степени степени.