Вынесение общего множителя за скобки

Вынесение общего множителя за скобки

Вынесение общего множителя за скобки — это первый и самый простой приём разложения многочлена на множители. Он основан на распределительном законе умножения, который в седьмом классе записывают так: a*b + a*c = a*(b + c). Если все слагаемые многочлена имеют общий множитель, его можно вынести за скобки, превратив сумму в произведение. С этого приёма всегда начинают любое разложение на множители: даже если потом понадобятся другие методы, сначала проверяют, нет ли общего множителя.

Как найти общий множитель

Общий множитель состоит из двух частей — числовой и буквенной.

• Числовая часть — это наибольший общий делитель коэффициентов всех слагаемых.
• Буквенная часть — это каждая общая буква в наименьшей встречающейся степени.

После того как множитель найден, каждое слагаемое делят на него и записывают результат в скобках. Если хотя бы одна буква встречается не во всех слагаемых, в общий множитель её не берут.

Разобранный пример

Разложим на множители 8a^2*b - 12a*b^2. Сначала находим общий множитель. Наибольший общий делитель чисел 8 и 12 равен 4. Общая буква a входит в наименьшей степени первой, буква b — также первой. Значит, общий множитель равен 4a*b:

8a^2*b - 12a*b^2 = 4a*b*(2a - 3b)

Проверить можно обратным раскрытием скобок: умножаем 4a*b на каждое слагаемое в скобках и должны получить исходное выражение. Если результат совпал с тем, что было, разложение выполнено правильно. Такая проверка очень полезна на первых порах, пока навык ещё не доведён до автоматизма.

Иногда общий множитель удобно выносить вместе со знаком минус. Например, в выражении -6x - 9 можно вынести множитель -3 и получить -3(2x + 3). Это пригодится позже при способе группировки, где правильный знак вынесенного множителя помогает получить одинаковые скобки.

Зачем это нужно

Разложение на множители используется для сокращения дробей, решения уравнений и упрощения выражений. Например, уравнение x^2 - 3x = 0 удобно решать, вынеся x за скобки: получается x(x - 3) = 0, откуда сразу видны корни x = 0 и x = 3. Поэтому умение видеть общий множитель — очень важный базовый навык.

Частые ошибки

Будь внимателен! Если одно из слагаемых полностью совпадает с общим множителем, в скобках на его месте остаётся 1, а не пустое место. Например, x^2 + x = x(x + 1), а не x(x + ). Ещё одна ошибка — брать букву в слишком большой степени, которой нет во всех слагаемых.

Кратко о главном

• Приём основан на законе a*b + a*c = a*(b + c).
• Числовая часть множителя — наибольший общий делитель коэффициентов.
• Буквенная часть — общие буквы в наименьшей степени.
• Если слагаемое равно множителю, в скобках остаётся 1.
• С этого приёма начинают любое разложение на множители.