Квадрат трёхчлена

Что такое квадрат трёхчлена

Квадрат трёхчлена — это результат возведения в квадрат суммы трёх слагаемых. Эта формула расширяет известный квадрат суммы двух слагаемых и помогает быстро раскрывать скобки без долгого перемножения многочленов между собой.

Формула выглядит так:

(a + b + c)_2 = a_2 + b_2 + c_2 + 2ab + 2bc + 2ac

То есть квадрат трёхчлена равен сумме квадратов каждого слагаемого плюс удвоенные произведения всех возможных пар слагаемых. Всего получается шесть слагаемых: три квадрата и три удвоенных произведения.

Откуда берётся формула

Если перемножить скобку (a + b + c) саму на себя, получится девять произведений. После приведения подобных три из них дают квадраты, а оставшиеся шесть попарно объединяются в три удвоенных произведения. Например, произведения a·b и b·a равны между собой и вместе дают 2ab.

Разбор примера

Возведём в квадрат трёхчлен x + 2 + y:

(x + 2 + y)_2 = x_2 + 4 + y_2 + 4x + 4y + 2xy

Здесь a = x, b = 2, c = y. Квадраты дали x_2, 4, y_2, а удвоенные произведения — 2·x·2 = 4x, 2·2·y = 4y и 2·x·y = 2xy.

Учёт знаков

Если в трёхчлене есть отрицательные слагаемые, их знаки переносят в формулу. Удвоенное произведение слагаемых разных знаков будет отрицательным. Возведём в квадрат a - b + c:

(a - b + c)_2 = a_2 + b_2 + c_2 - 2ab - 2bc + 2ac

Произведения a·(-b) и (-b)·c дали минус, а a·c осталось со знаком плюс, потому что оба множителя положительны.

Частая ошибка. Нельзя писать (a + b + c)_2 = a_2 + b_2 + c_2. Удвоенные произведения пар пропускать нельзя — без них равенство неверно. Проверить легко на числах: (1+1+1)_2 = 9, а сумма квадратов даёт только 3.

Как запомнить формулу

Чтобы не забыть ни одного слагаемого, удобно представить таблицу умножения «каждое на каждое». По главной диагонали окажутся квадраты a_2, b_2, c_2, а вне диагонали — произведения пар, причём каждое встречается дважды. Именно поэтому в формуле появляется множитель 2 перед каждым произведением. Такой образ помогает восстановить формулу даже без заучивания.

Числовая проверка

Полезно проверять формулу на простых числах. Возьмём a = 1, b = 2, c = 3. Слева (1 + 2 + 3)_2 = 36. Справа сумма квадратов даёт 1 + 4 + 9 = 14, а удвоенные произведения — 2·2 + 2·6 + 2·3 = 4 + 12 + 6 = 22. Вместе 14 + 22 = 36. Значения совпали, значит, формула применена верно.

Где применяют формулу

Квадрат трёхчлена встречается при упрощении выражений, при выделении полного квадрата и в геометрических задачах, где сторона фигуры составлена из нескольких отрезков. Умение быстро его раскрывать экономит время и снижает риск арифметических ошибок, особенно на контрольных работах.

Кратко о главном

• Квадрат трёхчлена равен сумме квадратов слагаемых и удвоенных произведений всех их пар.
• Всего получается шесть слагаемых: три квадрата и три удвоенных произведения.
• Пропускать удвоенные произведения нельзя.
• Знаки слагаемых обязательно учитываются при подстановке в формулу.