Прямая пропорциональность

Прямая пропорциональность

Прямой пропорциональностью называют функцию, которую можно задать формулой вида y = kx, где x — независимая переменная, а k — отличное от нуля число, называемое коэффициентом пропорциональности. Это частный случай линейной функции y = kx + b, в котором свободный член b = 0. Прямая пропорциональность встречается в задачах чаще других зависимостей, поэтому её свойства полезно знать особенно хорошо.

График прямой пропорциональности

Графиком прямой пропорциональности является прямая, проходящая через начало координат. Это следует из того, что при x = 0 всегда y = 0, то есть точка (0; 0) обязательно принадлежит графику. Чтобы построить такую прямую, достаточно найти ещё одну точку, кроме начала координат, и провести через эти две точки линию.

Свойство пропорциональности

В прямой пропорциональности при увеличении аргумента в несколько раз значение функции увеличивается во столько же раз, а при уменьшении — во столько же раз уменьшается. Именно поэтому зависимость и называют «прямой». Знак коэффициента k определяет направление прямой и то, через какие четверти она проходит.

Чем больше модуль коэффициента k, тем «круче» поднимается или опускается прямая, то есть тем сильнее меняется y при изменении x. Сравните: прямая y = 3x идёт круче, чем y = x.

Разобранный пример

Построим график функции y = 3x.

Первая точка — начало координат (0; 0).

Вторая точка: при x = 1 получаем y = 3·1 = 3, то есть (1; 3).

Проводим через эти две точки прямую. Так как k = 3 > 0, график проходит через первую и третью четверти.

Прямая пропорциональность описывает многие реальные зависимости. Например, стоимость покупки прямо пропорциональна количеству одинаковых товаров, масса вещества прямо пропорциональна его объёму, а пройденный путь при постоянной скорости прямо пропорционален времени движения. Во всех этих случаях коэффициент k имеет понятный смысл: цена одного товара, плотность вещества, скорость движения.

Частые ошибки. Не всякая линейная функция является прямой пропорциональностью: если b ≠ 0, график не проходит через начало координат, и зависимость уже не прямая пропорциональность. Коэффициент k в прямой пропорциональности не может равняться нулю, иначе функция превратится в постоянную y = 0, график которой совпадает с осью Ox.

Кратко о главном

• Прямая пропорциональность задаётся формулой y = kx при k ≠ 0.
• Это частный случай линейной функции при b = 0.
• Её график — прямая, проходящая через начало координат.
• При k > 0 функция возрастает, при k < 0 — убывает.
• Многие реальные зависимости (цена, путь, масса) являются прямой пропорциональностью.