Корень уравнения
📐 Алгебра · 7 класс
Что такое корень уравнения
Корень уравнения — это значение переменной, при котором уравнение обращается в верное числовое равенство. Решить уравнение — значит найти все его корни или доказать, что их нет. Понятие корня лежит в основе всей темы уравнений и нужно при решении текстовых задач, где неизвестное обозначают буквой.
Напомним, что уравнение — это равенство, содержащее переменную. Подставляя вместо переменной число, мы получаем либо верное числовое равенство, и тогда число является корнем, либо неверное — и тогда это не корень.
Как проверить корень
Чтобы проверить, является ли число корнем, его подставляют в уравнение вместо переменной и отдельно вычисляют левую и правую части. Если значения частей совпали — число является корнем.
Уравнение: 3*x - 4 = 5
Проверим x = 3: 3*3 - 4 = 9 - 4 = 5 -> 5 = 5 верно
значит, x = 3 — корень.
Проверим x = 2: 3*2 - 4 = 6 - 4 = 2 -> 2 = 5 неверно
значит, x = 2 — не корень.
Проверка особенно полезна в конце решения: подстановка занимает считанные секунды, зато сразу показывает, не закралась ли ошибка в вычислениях.
Сколько корней бывает
| Пример | Число корней | Объяснение |
|---|---|---|
2*x = 6 | Один | единственное решение x = 3 |
0*x = 0 | Бесконечно много | подходит любое число |
0*x = 5 | Ни одного | равенство невозможно |
Линейное уравнение вида a*x = b при коэффициенте a, не равном нулю, всегда имеет ровно один корень: x = b/a. Особые случаи возникают только тогда, когда коэффициент при переменной обращается в нуль.
Разобранный пример решения
5*x - 2 = 3*x + 8
5*x - 3*x = 8 + 2
2*x = 10
x = 5
Проверка: 5*5 - 2 = 23, 3*5 + 8 = 23 -> верно.
Частая ошибка. Найдя корень, ученики пропускают проверку и не замечают арифметических промахов. Кроме того, путают сам корень со значением выражения: корень — это число, которое ставят вместо переменной, а не результат подстановки.
Равносильные уравнения
Два уравнения называют равносильными, если у них одни и те же корни. При решении мы заменяем уравнение более простым, но равносильным: переносим слагаемые из части в часть с переменой знака, делим или умножаем обе части на одно и то же число, не равное нулю. Каждый такой шаг сохраняет множество корней, поэтому ответ остаётся прежним.
Важно помнить, что умножать или делить обе части можно только на число, отличное от нуля. Если умножить уравнение на нуль, обе части превратятся в нуль и связь с исходными корнями потеряется. Поэтому деление на выражение, которое может обратиться в нуль, в седьмом классе не используют, ограничиваясь делением на числа.
Кратко о главном
- Корень — это значение переменной, обращающее уравнение в верное равенство.
- Проверка корня — подстановка числа в уравнение и сравнение частей.
- Линейное уравнение имеет один корень, либо ни одного, либо бесконечно много.
- Равносильные уравнения имеют одинаковые корни.