Действия с числами в стандартном виде

Действия над числами в стандартном виде

Стандартный вид числа — это запись вида a · 10_n, где 1 ≤ a < 10, а n — целое число. В такой форме удобно умножать и делить очень большие и очень малые числа, опираясь на свойства степеней. Без стандартного вида вычисления с массой планеты или размером молекулы были бы крайне громоздкими.

Умножение чисел в стандартном виде

Чтобы перемножить два числа в стандартном виде, отдельно перемножают множители a и отдельно складывают показатели степеней десятки:

(a · 10_m) · (b · 10_n) = (a·b) · 10_(m+n)

Деление чисел в стандартном виде

При делении множители делят, а показатели степеней вычитают:

(a · 10_m) : (b · 10_n) = (a:b) · 10_(m-n)

Разбор примера

Умножим 3 · 10_4 на 2 · 10_5:

(3·2) · 10_(4+5) = 6 · 10_9

Теперь разделим 8 · 10_7 на 4 · 10_2:

(8:4) · 10_(7-2) = 2 · 10_5

Приведение к стандартному виду

Иногда результат получается не в стандартном виде, потому что множитель выходит за пределы от 1 до 10. Например, 5·3 = 15, и тогда 15 · 10_3 нужно переписать как 1,5 · 10_4. Здесь число 15 представили как 1,5 · 10, и лишнюю десятку добавили к показателю. Точно так же поступают и при делении, если множитель оказался меньше единицы.

Частая ошибка. При умножении показатели нужно складывать, а при делении вычитать. Если перепутать эти действия, ответ изменится в миллионы раз. Также важно не забывать проверять, лежит ли множитель в пределах от 1 до 10.

Отрицательные показатели

Очень малые числа записывают со отрицательным показателем степени. Например, 0,0007 = 7 · 10_(-4). Правила действий остаются прежними: при умножении показатели складывают, при делении вычитают, и при этом отрицательные показатели участвуют наравне с положительными. Так, (2 · 10_(-3)) · (4 · 10_5) = 8 · 10_2, потому что -3 + 5 = 2.

Сравнение чисел в стандартном виде

Стандартный вид удобен для сравнения. Сначала сравнивают показатели степени: у какого числа показатель больше, то число и больше (для положительных множителей). Если показатели равны, сравнивают множители a. Например, 3 · 10_8 больше, чем 9 · 10_7, потому что у первого числа показатель степени больше, несмотря на меньший множитель.

Зачем нужен стандартный вид

Стандартный вид применяют в физике и астрономии, где встречаются числа вроде массы планеты или размера атома. Запись через степень десятки делает вычисления компактными, наглядными и удобными для сравнения.

Кратко о главном

• Стандартный вид числа — это a · 10_n при 1 ≤ a < 10.
• При умножении множители перемножают, а показатели степеней складывают.
• При делении множители делят, а показатели вычитают.
• Результат при необходимости приводят обратно к стандартному виду.