График функции y = |x|

Функция y = |x|

Функция y = |x| ставит в соответствие каждому числу его модуль, то есть расстояние от нуля до этого числа на координатной прямой. Модуль любого числа неотрицателен, поэтому и значения этой функции неотрицательны. Это первый в курсе алгебры пример «ломаной» зависимости, у которой график не является одной прямой.

Напомним определение модуля: |x| = x при x >= 0 и |x| = -x при x < 0. Значит, формула функции как бы состоит из двух частей — одна работает для неотрицательных чисел, другая для отрицательных.

Таблица значений

x	-3	-2	-1	0	1	2	3
y = |x|	3	2	1	0	1	2	3

По этой таблице хорошо видно: значения слева и справа от нуля повторяются симметрично. Точкам x = -2 и x = 2 соответствует одно и то же значение 2, поэтому график должен быть симметричным.

Форма графика

График функции y = |x| — это «уголок», напоминающий галочку, с вершиной в начале координат. Он состоит из двух лучей:

при x >= 0: y = x (луч идёт вверх и вправо) при x < 0: y = -x (луч идёт вверх и влево)

Оба луча выходят из точки (0; 0). Эта точка является вершиной уголка и одновременно даёт наименьшее значение функции. Правый луч совпадает с частью прямой y = x, а левый — с частью прямой y = -x.

Свойства функции

• Область определения — все числа без исключения.
• Значения функции — числа, большие или равные нулю.
• Наименьшее значение y = 0 достигается при x = 0.
• График симметричен относительно оси Oy.
• При удалении от нуля влево или вправо значения растут одинаково быстро.

Как строить

Чтобы построить график, удобно отметить несколько точек из таблицы, поставить вершину в начало координат и соединить точки двумя лучами. Достаточно взять по две-три точки слева и справа от нуля, потому что каждая ветвь — это прямой луч.

Зная график y = |x|, легко представить и более сложные графики с модулем. Если прибавить к формуле число, весь уголок поднимется или опустится вдоль оси Oy. Но в седьмом классе достаточно уверенно строить именно базовую функцию y = |x| и понимать, почему её график выглядит как уголок, а не как прямая.

График модуля удобно сравнить с графиком прямой пропорциональности y = x. Для неотрицательных чисел эти два графика совпадают полностью. А вот при отрицательных значениях аргумента прямая y = x уходит вниз, под ось Ox, тогда как график модуля «отражается» вверх и остаётся над осью. Именно это отражение левой ветви и превращает прямую в уголок. Поэтому модуль никогда не принимает отрицательных значений, как бы далеко влево мы ни двигались по оси аргументов.

Частая ошибка. Рисуют одну сплошную прямую вместо уголка. Помните: при отрицательных значениях аргумента модуль «отражает» число вверх, поэтому левая ветвь идёт не вниз, а вверх — график не может опускаться ниже оси Ox.

Кратко о главном

• y = |x| — это модуль числа, значение всегда неотрицательно.
• График — уголок с вершиной в точке (0; 0).
• Он состоит из двух лучей: y = x и y = -x.
• Функция симметрична относительно оси Oy.