Умножение одночлена на многочлен

Что значит умножить одночлен на многочлен

Умножение одночлена на многочлен — это действие, при котором одночлен умножают на каждый член многочлена и полученные произведения складывают. В основе действия лежит распределительный закон умножения относительно сложения, который вы изучали ещё в начальной школе при работе с числами. Здесь тот же закон применяется к буквенным выражениям.

В общем виде правило записывают так:

a · (b + c + d) = a·b + a·c + a·d

Здесь a — одночлен, а выражение в скобках — многочлен. Результат снова получается многочленом, который затем приводят к стандартному виду, то есть упорядочивают по убыванию степеней и приводят подобные слагаемые.

Порядок действий

Чтобы не ошибиться, удобно действовать по строгому плану. Сначала записывают одночлен перед скобкой, затем последовательно умножают его на каждое слагаемое многочлена.

1. Запишите одночлен перед скобкой.
2. Умножьте его отдельно на каждое слагаемое многочлена, обязательно учитывая знаки.
3. При умножении степеней с одинаковым основанием сложите показатели.
4. Перемножьте числовые коэффициенты как обычные числа.
5. Приведите подобные слагаемые, если они появились в результате.

Разбор примера

Умножим одночлен 3x на многочлен 2x_2 - 5x + 4:

3x · (2x_2 - 5x + 4) = 6x_3 - 15x_2 + 12x

Каждое слагаемое получено отдельно. Сначала 3x·2x_2 = 6x_3, потому что коэффициенты дали 3·2 = 6, а показатели сложились: 1 + 2 = 3. Затем 3x·(-5x) = -15x_2, и наконец 3x·4 = 12x.

Ещё один пример с двумя переменными

Рассмотрим выражение -2ab · (3a - b + 5). Перед скобкой стоит отрицательный одночлен, поэтому будем внимательны со знаками:

-2ab · (3a - b + 5) = -6a_2·b + 2a·b_2 - 10ab

Здесь видно, как при умножении на отрицательный одночлен все знаки внутри скобки изменились на противоположные.

Зачем нужно это действие

Умножение одночлена на многочлен применяют при упрощении выражений, при решении уравнений и при подготовке к разложению на множители. Это действие обратно вынесению общего множителя за скобки: если уметь умножать, легче понять и обратную операцию. Кроме того, такое умножение часто встречается в задачах на площадь, где одну сторону прямоугольника выражают одночленом, а другую — многочленом.

Частая ошибка. Ученики иногда умножают одночлен только на первое слагаемое скобки. Например, пишут 3x·(2x_2 - 5x) = 6x_3 - 5x. Это неверно: умножать нужно на каждый член, поэтому правильный ответ — 6x_3 - 15x_2. Ещё одна ошибка — потеря знака при отрицательном одночлене.

Кратко о главном

• Одночлен умножается на каждое слагаемое многочлена по распределительному закону.
• При умножении степеней с одинаковым основанием показатели складываются, а коэффициенты перемножаются.
• Знаки слагаемых обязательно учитываются, особенно при отрицательном одночлене.
• Результат — многочлен, который приводят к стандартному виду.
• Это действие обратно вынесению общего множителя за скобки.