Решение задач на проценты

Что такое процент

Процент — это одна сотая часть величины. Записывают процент знаком %: по определению 1% = 0,01. Умение работать с процентами нужно в задачах о скидках, налогах, концентрации растворов и банковских вкладах. В алгебре такие задачи обычно сводят к уравнению или к пропорции, поэтому тема процентов опирается на материал предыдущих параграфов.

Чтобы найти процент от числа, процент переводят в десятичную дробь и умножают на это число. Например, 20% от 50 равно 0,2 * 50 = 10. Перевод процента в дробь — обязательный первый шаг почти в любой задаче.

Три основных типа задач

Тип задачи	Что ищем	Приём
Процент от числа	часть	число умножаем на дробь
Число по его проценту	целое	часть делим на дробь
Сколько процентов	отношение	часть делим на целое и умножаем на 100

Разобранные примеры

Первый тип. В классе 25 учеников, отличников 20%. Сколько отличников?

20% от 25 = 0,2 * 25 = 5 -> 5 отличников.

Второй тип. Отличников 5, и это составляет 20% класса. Сколько всего учеников?

5 / 0,2 = 25 -> 25 учеников.

Третий тип. В классе 25 учеников, отличников 5. Какой это процент?

5 / 25 * 100 = 0,2 * 100 = 20%

Процентное изменение

Если цена выросла на 10%, новая цена составляет 110% старой, то есть умножается на 1,1. Если цена упала на 10%, она умножается на 0,9. Этот приём удобен для задач на наценку и скидку, потому что заменяет два действия одним умножением.

Цена 800 руб., скидка 25%: 800 * (1 - 0,25) = 800 * 0,75 = 600 руб. Та же цена, наценка 25%: 800 * (1 + 0,25) = 800 * 1,25 = 1000 руб.

Задачи с уравнением

Когда неизвестна сама величина, задачу удобно решать через уравнение. Пусть цена товара равна x рублей. После скидки 20% он стал стоить 640 рублей. Тогда 0,8 * x = 640, откуда x = 800 рублей. Здесь множитель 0,8 появился потому, что после скидки осталось 80% прежней цены. Такой способ работает в любых задачах, где исходную величину требуется восстановить по её части.

Многие задачи на проценты сводят и к пропорции. Если 25 учеников — это 100%, а отличники составляют неизвестный процент, то составляют пропорцию между числами учеников и соответствующими процентами. Такой подход особенно нагляден: он показывает, что процент — это просто другое выражение для отношения части к целому. Выбор между уравнением, пропорцией и прямым вычислением зависит от того, какая величина в задаче неизвестна.

Частая ошибка. Считают, что рост на 20% и последующее падение на 20% возвращают исходное число. Это неверно: проценты берутся от разных величин, поэтому итог получается меньше начального. Проверьте на числе 100: после роста будет 120, после падения — 96.

Кратко о главном

• Процент — это сотая часть, 1% = 0,01.
• Процент от числа — умножение на дробь; число по проценту — деление на дробь.
• Сколько процентов — часть делим на целое и умножаем на сто.
• Рост на p% — это умножение на 1 + p/100, а последовательные проценты берут от разных величин.