Применение нескольких способов разложения на множители
📐 Алгебра · 7 класс
Применение нескольких способов разложения
Часто один приём не позволяет разложить многочлен на множители полностью. Тогда способы комбинируют: сначала выносят общий множитель, затем применяют группировку или формулы сокращённого умножения. Полное разложение — это представление многочлена в виде произведения, которое дальше уже не раскладывается.
Разложение на множители помогает упрощать дроби, решать уравнения и доказывать тождества. Поэтому важно доводить его до конца, а не останавливаться, выделив только один множитель. Для этого и нужно уметь применять несколько способов в одной задаче.
Порядок действий
- Сначала ищут общий множитель и выносят его за скобки.
- Затем смотрят, нельзя ли применить формулы сокращённого умножения.
- Если нет — пробуют группировку слагаемых.
- Проверяют, раскладываются ли получившиеся множители дальше.
Правило: разложение всегда начинают с вынесения общего множителя. Это упрощает выражение и часто открывает возможность применить формулу. Пропустив этот шаг, легко не заметить разность квадратов или полный квадрат.
| Признак | Какой способ |
|---|---|
| есть общий множитель | вынесение за скобки |
| разность квадратов | формула a^2 - b^2 |
| квадрат суммы или разности | формула (a+-b)^2 |
| четыре слагаемых | группировка |
Разобранный пример
Разложим на множители 2x^3 - 8x.
2x^3 - 8x = 2x(x^2 - 4) = 2x(x - 2)(x + 2)Сначала вынесли общий множитель 2x. В скобках получилась разность квадратов x^2 - 4 = x^2 - 2^2, которую разложили по формуле a^2 - b^2 = (a-b)(a+b). Получившиеся множители (x-2) и (x+2) дальше не раскладываются, значит разложение полное.
Пример с группировкой
Разложим ab + ac + 3b + 3c.
ab + ac + 3b + 3c = a(b + c) + 3(b + c) = (b + c)(a + 3)Сгруппировали слагаемые попарно: из первых двух вынесли a, из вторых двух — 3. В обеих парах появилась одинаковая скобка (b + c), которую вынесли как общий множитель. Результат — произведение двух множителей. Если бы одинаковая скобка не появилась, слагаемые стоило бы перегруппировать иначе: успех группировки как раз и проверяют по тому, возникла ли общая скобка.
Частые ошибки: останавливаются на первом множителе, не доводя разложение до конца; забывают вынести общий множитель перед применением формулы; неправильно группируют слагаемые, из-за чего не появляется общая скобка; теряют знак при вынесении.
Кратко о главном
- Разложение начинают с вынесения общего множителя.
- Затем применяют формулы сокращённого умножения или группировку.
- Получившиеся множители проверяют на возможность дальнейшего разложения.
- Способы можно комбинировать в одной задаче.
- Цель — представить многочлен произведением, которое дальше не раскладывается.