Куб суммы и куб разности

Что такое куб суммы и куб разности

Куб суммы и куб разности — это формулы сокращённого умножения, которые позволяют быстро возвести в третью степень сумму или разность двух выражений, не перемножая скобки три раза подряд. Эти формулы относятся к обязательной части курса алгебры седьмого класса и опираются на уже известные формулы квадрата суммы и квадрата разности. Они нужны, чтобы экономить время при тождественных преобразованиях, а в старших классах — при решении уравнений и работе с многочленами высоких степеней.

Возведение в куб — это умножение выражения само на себя три раза. Если бы мы каждый раз раскрывали скобки вручную, вычисления получались бы громоздкими и в них легко допустить ошибку. Готовая формула избавляет от лишней работы.

Вывод формулы

Чтобы получить куб суммы, достаточно представить третью степень как произведение квадрата на саму скобку и аккуратно раскрыть скобки. Сначала используем квадрат суммы, а затем умножаем результат ещё на одну скобку:

Куб суммы: (a + b)^3 = a^3 + 3a^2*b + 3a*b^2 + b^3

Куб разности: (a - b)^3 = a^3 - 3a^2*b + 3a*b^2 - b^3

Обратите внимание: в кубе разности знаки чередуются — плюс, минус, плюс, минус. Это удобный способ не запутаться при записи. Куб разности можно получить и из куба суммы, если заменить второе выражение на противоположное по знаку.

Как запомнить

Каждая формула состоит из четырёх слагаемых. Первое и последнее — это кубы первого и второго выражения. Два средних слагаемых имеют коэффициент 3: сначала утроенное произведение квадрата первого на второе, затем утроенное произведение первого на квадрат второго. Показатели степеней у первого выражения убывают, а у второго — возрастают.

Разобранный пример

Возведём в куб сумму (x + 2). Подставляем в формулу, где a = x, а b = 2:

(x + 2)^3 = x^3 + 3*x^2*2 + 3*x*2^2 + 2^3 = x^3 + 6x^2 + 12x + 8

Аналогично для разности (y - 1)^3 = y^3 - 3y^2 + 3y - 1. Здесь второе выражение равно единице, поэтому многие множители упрощаются. Формулы работают и в обратную сторону: если перед нами многочлен из четырёх слагаемых нужного вида, его можно свернуть в куб двучлена.

Где это применяют

Куб суммы и разности используют для упрощения длинных выражений, для устного возведения в куб чисел вроде 21 (как 20 + 1) и при подготовке к темам старших классов. Умение узнавать структуру формулы помогает быстро сворачивать и разворачивать выражения.

Частые ошибки

Внимание! Распространённая ошибка — писать (a + b)^3 = a^3 + b^3. Это неверно: нельзя возводить в куб каждое слагаемое по отдельности. Также часто забывают коэффициент 3 у средних членов или путают знаки в кубе разности.

Чтобы проверить себя, можно подставить простые числа, например a = 1 и b = 1, и сравнить результат прямого вычисления с результатом по формуле. Если значения совпали, формула применена верно.

Кратко о главном

• Куб суммы: (a + b)^3 = a^3 + 3a^2*b + 3a*b^2 + b^3.
• Куб разности отличается чередованием знаков: (a - b)^3 = a^3 - 3a^2*b + 3a*b^2 - b^3.
• В каждой формуле четыре слагаемых, средние имеют коэффициент 3.
• Возводить в куб каждое слагаемое отдельно нельзя.
• Формулы работают и в обратную сторону — для сворачивания многочленов.