Линейная функция и её график

Линейная функция и её график

Линейной функцией называют функцию, которую можно задать формулой вида y = kx + b, где x — независимая переменная (аргумент), а k и b — заданные числа. Число k называют угловым коэффициентом, а число b показывает, в какой точке график пересекает ось Oy. Линейная функция — первая функция, график которой подробно изучают в седьмом классе, и многие реальные зависимости описываются именно ею.

График линейной функции

Графиком линейной функции является прямая. Чтобы построить прямую, достаточно отметить две её точки и провести через них линию, ведь через две точки проходит единственная прямая. Обычно для удобства берут два произвольных значения x, подставляют их в формулу и находят соответствующие значения y, а затем отмечают полученные точки на координатной плоскости.

Смысл коэффициентов

Коэффициенты k и b управляют положением прямой на плоскости. Угловой коэффициент k отвечает за наклон прямой, а свободный член b — за её сдвиг вверх или вниз.

Полезно знать ещё одно свойство: графики двух линейных функций с одинаковыми угловыми коэффициентами k параллельны друг другу. А если у двух функций равны и k, и b, то их графики попросту совпадают.

Разобранный пример

Построим график функции y = 2x - 1.

Найдём две точки, подставляя удобные значения x:

при x = 0: y = 2·0 - 1 = -1, точка (0; -1);

при x = 2: y = 2·2 - 1 = 3, точка (2; 3).

Отмечаем обе точки и проводим через них прямую — это и есть график.

Так как k = 2 > 0, функция возрастает, то есть с увеличением x растёт и y. А так как b = -1, прямая пересекает ось Oy в точке (0; -1). Чтобы проверить себя, можно взять третью точку, например при x = 1 получить y = 1, и убедиться, что она тоже лежит на построенной прямой.

Частые ошибки. Графики функций y = kx + b с равными k параллельны, не путайте их с совпадающими. Не стоит строить прямую по одной точке: нужны минимум две, а третью часто берут для проверки. Если при подстановке точка не легла на прямую — значит, в вычислениях ошибка, и таблицу значений надо пересчитать.

Где встречается линейная зависимость

Линейные функции описывают множество жизненных ситуаций. Например, оплата такси складывается из фиксированной посадки и стоимости за километр пути; здесь свободный член b — это цена посадки, а коэффициент k — цена одного километра. Похожим образом ведёт себя счёт за электричество с абонентской платой или стоимость доставки с надбавкой за расстояние.

Кратко о главном

• Линейная функция задаётся формулой y = kx + b.
• Её график — прямая, для построения которой достаточно двух точек.
• Знак k определяет возрастание или убывание функции.
• Число b задаёт точку пересечения прямой с осью Oy.
• Прямые с равными k параллельны.