Свойства степеней с натуральным показателем

Свойства степеней с натуральным показателем

Чтобы быстро преобразовывать выражения со степенями, не расписывая каждый раз произведение множителей, пользуются свойствами степеней. Они верны для любого основания a и любых натуральных показателей и являются основой работы с одночленами и многочленами. Каждое из свойств легко понять, если вспомнить определение степени как произведения одинаковых множителей.

Три основных свойства

1. Умножение степеней с одинаковым основанием: при умножении показатели складывают — a^m · a^n = a^{m+n}. В самом деле, мы просто соединяем m множителей и ещё n таких же множителей в одно произведение.
2. Деление степеней с одинаковым основанием: при делении показатели вычитают — a^m : a^n = a^{m-n} (при m > n и a ≠ 0). Часть множителей сокращается, и остаётся m - n множителей.
3. Возведение степени в степень: показатели перемножают — (a^m)^n = a^{m·n}. Степень a^m берётся множителем n раз, поэтому всего получается m·n множителей.

Свойства для произведения и частного

Дополнительно используют ещё два правила: степень произведения равна произведению степеней, а степень частного — частному степеней. Они помогают возводить в степень целые скобки.

• (a·b)^n = a^n · b^n;
• (a:b)^n = a^n : b^n (при b ≠ 0).

Соберём все свойства в одну таблицу, чтобы их было удобно сравнивать и запоминать.

Разобранный пример

Упростим выражение (a^4 · a^2)^3 : a^5.

a^4 · a^2 = a^6 — складываем показатели;

(a^6)^3 = a^{18} — перемножаем показатели;

a^{18} : a^5 = a^{13} — вычитаем показатели.

Ответ: a^{13}. Разберём ещё один пример со скобкой произведения: (2x^2)^3 = 2^3 · (x^2)^3 = 8x^6. Здесь сначала возвели в куб число 2, затем степень x^2, перемножив показатели.

Частые ошибки. Правила работают только при одинаковых основаниях: выражение 2^3 · 5^2 нельзя свернуть в одну степень. Складывают и вычитают показатели, а не основания: a^3 · a^2 = a^5, но никак не a^6 и не 2a^5. При возведении в степень не забывайте возводить и числовой коэффициент: (3x)^2 = 9x^2, а не 3x^2.

Кратко о главном

• При умножении степеней с одним основанием показатели складывают, при делении — вычитают.
• При возведении степени в степень показатели перемножают.
• Степень произведения и частного равна произведению (частному) степеней.
• Все свойства применимы только при одинаковых основаниях.
• Числовой коэффициент тоже возводится в степень.