Понятие функции
📐 Алгебра · 7 класс
Что такое функция
Функция — это правило, по которому каждому значению одной переменной (её называют независимой, или аргументом) ставится в соответствие ровно одно значение другой переменной (зависимой). Аргумент обычно обозначают буквой x, а зависимую переменную — y. Записывают это так: y = f(x).
Пример из жизни: если 1 кг яблок стоит 80 рублей, то стоимость покупки y зависит от массы x по правилу y = 80x. Каждому значению массы соответствует одна цена — значит, это функция.
График функции
График функции — это множество всех точек координатной плоскости, у которых абсцисса равна значению аргумента, а ордината — соответствующему значению функции. Проще говоря, мы берём пары (x; y) и отмечаем их точками. График делает поведение функции наглядным: сразу видно, где она растёт, а где убывает.
Линейная функция
Линейной называют функцию вида y = kx + b, где k и b — числа. Её график — прямая линия. Число k называют угловым коэффициентом: оно показывает наклон прямой. Число b — это ордината точки пересечения с осью y.
| Значение k | Поведение функции | Наклон прямой |
|---|---|---|
| k > 0 | возрастает | идёт вверх слева направо |
| k < 0 | убывает | идёт вниз слева направо |
| k = 0 | постоянна (y = b) | горизонтальная прямая |
Прямая пропорциональность
Если в формуле y = kx + b положить b = 0, получится y = kx — это прямая пропорциональность. Её график — прямая, проходящая через начало координат (точку 0; 0). При прямой пропорциональности во сколько раз увеличивается x, во столько же раз увеличивается y.
Пошаговый пример
Построим график функции y = 2x − 1.
Дано: y = 2x − 1
Шаг 1. Возьмём два удобных значения x.
Прямую задают всего две точки.
Шаг 2. Пусть x = 0: y = 2·0 − 1 = −1.
Получили точку A(0; −1).
Шаг 3. Пусть x = 2: y = 2·2 − 1 = 3.
Получили точку B(2; 3).
Шаг 4. Отмечаем A и B на плоскости
и проводим через них прямую.
Ответ: график — прямая через (0; −1) и (2; 3).Как читать график
По готовому графику можно многое узнать о функции. Точка пересечения с осью y даёт значение b. Если прямая поднимается слева направо, угловой коэффициент положителен, если опускается — отрицателен. Чтобы найти k по графику, берут две точки прямой и считают, на сколько изменилась ордината при изменении абсциссы на единицу. Умение читать график так же важно, как умение его строить.
Частые ошибки. 1) Берут только одну точку — через одну точку проходит сколько угодно прямых. 2) Ошибаются в знаке b: в y = 2x − 1 прямая пересекает ось y в точке −1, а не +1. 3) Путают, что отвечает за наклон (k), а что за сдвиг по вертикали (b). 4) Считают любую кривую графиком функции, забывая, что каждому x должно соответствовать только одно y.Кратко о главном
- Функция ставит каждому x ровно одно значение y.
- График — это все точки (x; y), нанесённые на плоскость.
- Линейная функция y = kx + b имеет график-прямую.
- k задаёт наклон и направление, b — точку пересечения с осью y.
- Прямая пропорциональность y = kx проходит через начало координат.