Степень многочлена

Понятие степени многочлена

Степень многочлена стандартного вида — это наибольшая из степеней входящих в него одночленов. Чтобы найти её, сначала определяют степень каждого слагаемого, а затем выбирают самую большую из них. Степень показывает «сложность» многочлена и помогает заранее понять, как могут вести себя его значения и сколько корней способно иметь связанное с ним уравнение.

Чтобы говорить о степени корректно, многочлен сначала приводят к стандартному виду. Пока в записи есть подобные члены, они могут сократиться и изменить ответ, поэтому без приведения легко ошибиться.

Степень одночлена

Степень одночлена — это сумма показателей степеней всех входящих в него букв. Числовой множитель на степень не влияет: он лишь умножает результат, но не добавляет «букв».

7*a^3*b^2 -> степень = 3 + 2 = 5 -4*x -> степень = 1 9 -> степень = 0 (число)

Заметьте: у числа 9 степень равна нулю, потому что в нём нет букв. А вот у выражения x степень равна единице, ведь это то же самое, что x^1.

Разобранный пример

Найдём степень многочлена, в котором несколько переменных:

5*x^2*y + 3*x*y^3 - 8*x + 2 члены: x^2*y -> 2+1 = 3 x*y^3 -> 1+3 = 4 x -> 1 число -> 0 наибольшая степень = 4

Значит, перед нами многочлен четвёртой степени. Обратите внимание: ответ дал не первый член, а второй — поэтому проверять нужно каждое слагаемое.

Названия по степени

Степень	Название	Пример
0	Число (константа)	7
1	Линейный	2*x - 5
2	Квадратный	x^2 + 3*x
3	Кубический	x^3 - 1

Внимание. Степень нуля — многочлена, равного 0, — не определяют вовсе. А вот степень обычного числа, не равного нулю, считают равной нулю. Эти два случая важно не путать.

Зачем нужна степень

• По степени уравнения судят, сколько корней оно может иметь.
• Степень не меняется при сложении многочлена с многочленом меньшей степени.
• При умножении многочленов их степени складываются.

Например, при сложении многочленов x^2 + 1 и 3*x - 4 получится x^2 + 3*x - 3 — степень осталась второй, потому что слагаемое второй степени никуда не делось. А произведение многочлена второй степени на многочлен третьей степени даёт многочлен пятой степени: 2 + 3 = 5. Это правило удобно проверять «на глаз», ещё до выполнения умножения.

Однородные и неоднородные многочлены

Иногда все одночлены многочлена имеют одинаковую степень — такой многочлен называют однородным. Например, в выражении x^2 + x*y + y^2 степень каждого слагаемого равна двум, поэтому весь многочлен однородный и его степень тоже равна двум. Если же степени слагаемых различны, степень многочлена определяет самое «старшее» из них, а остальные на ответ не влияют.

Кратко о главном

• Степень одночлена — это сумма показателей его букв.
• Степень многочлена — наибольшая из степеней его одночленов.
• Степень считают после приведения к стандартному виду.
• При умножении многочленов степени складываются, при сложении — берётся бо́льшая.