Уравнения без корней и с бесконечным множеством корней

Особые случаи линейного уравнения

Линейное уравнение вида ax = b не всегда имеет ровно один корень. В зависимости от значений a и b возможны три случая: один корень, отсутствие корней или бесконечно много корней. Понимание этих случаев помогает не ошибиться в выводе при решении и правильно записать ответ.

Корнем уравнения называют значение переменной, при котором уравнение обращается в верное равенство. В большинстве задач корень один. Но иногда после преобразований переменная пропадает, и тогда требуется специальный вывод. Именно такие случаи разбираются ниже.

Три случая

После приведения уравнения к виду ax = b рассматривают коэффициент a при переменной:

Правило: если переменная сократилась и осталось верное числовое равенство (например 0 = 0), корней бесконечно много. Если осталось неверное равенство (например 0 = 5), корней нет. Запомнить просто: верное равенство — «любое число», неверное — «нет корней».

Разобранный пример без корней

Решим уравнение 2(x + 3) = 2x + 1.

Сначала раскрыли скобки, затем перенесли переменные в одну сторону. Все слагаемые с x сократились, осталось неверное числовое равенство 0 = -5. Это означает, что нет такого значения x, при котором равенство выполнялось бы. Значит, уравнение не имеет корней.

Разобранный пример с множеством корней

Решим уравнение 3(x - 2) = 3x - 6.

После раскрытия скобок левая и правая части оказались одинаковыми. При переносе слагаемых получаем 0 = 0 — равенство, верное всегда. Поэтому корнем является любое число. Такое уравнение называют тождеством.

Когда же коэффициент при x не равен нулю, корень единственный: например, из 5x = 10 получаем x = 2. Это привычный, самый частый случай.

Как не запутаться

Чтобы уверенно отвечать, всегда доводят уравнение до вида, где слева стоит выражение с переменной, а справа число. Если переменная не исчезла — делят на её коэффициент и получают корень. Если исчезла — смотрят на оставшееся числовое равенство и выбирают один из двух особых ответов.

Частые ошибки: записывают ответ x = 0 вместо «нет корней»; путают случаи «нет корней» и «любое число»; не доводят уравнение до вида ax = b; ошибаются в знаках при переносе слагаемых.

Кратко о главном

• Линейное уравнение приводят к виду ax = b.
• Если a != 0 — один корень x = b/a.
• Если a = 0, а b != 0 — корней нет.
• Если a = 0 и b = 0 — корнем является любое число.
• Верное равенство без переменной означает множество корней, неверное — их отсутствие.