Задачи на совместную работу

Задачи о совместной работе

Задачи на совместную работу — это текстовые задачи, в которых несколько исполнителей выполняют общее дело вместе или по очереди. Их решают с помощью уравнений, опираясь на понятие производительности — части работы, выполняемой за единицу времени. Такие задачи учат связывать три величины: объём работы, производительность и время.

Главная идея

Всю работу принимают за единицу. Тогда, если исполнитель делает её за t единиц времени, его производительность равна 1/t. Производительности при совместной работе складываются, потому что за одно и то же время каждый исполнитель вносит свою долю.

Основное соотношение:

работа = производительность · время

Разбор примера

Первый рабочий выполняет заказ за 6 часов, второй — за 12 часов. За какое время они выполнят заказ вместе?

Производительность первого — 1/6, второго — 1/12. Совместная производительность:

1/6 + 1/12 = 2/12 + 1/12 = 3/12 = 1/4

Значит, за час они вместе делают четверть работы, а всю работу выполнят за 4 часа.

Как составить уравнение

Если неизвестно время одного из исполнителей, его обозначают буквой и записывают сумму выполненных частей работы. Пусть, например, бассейн наполняется первой трубой за 3 часа, а вместе с второй — за 2 часа. Обозначим время второй трубы через x. Тогда за час первая труба даёт 1/3 бассейна, вторая — 1/x, а вместе — 1/2. Получаем уравнение:

1/3 + 1/x = 1/2

Решив его, найдём x = 6 часов.

Частая ошибка. Нельзя складывать времена работы исполнителей. Если оба работают вместе, они тратят меньше времени, а не больше. Складывают именно производительности, а не часы.

Работа по очереди

Иногда исполнители работают не одновременно, а сменяя друг друга. Тогда складывают не производительности, а выполненные части работы за разные промежутки времени. Например, если первый рабочий трудился 2 часа с производительностью 1/6, он выполнил 2·1/6 = 1/3 работы, и остаток 2/3 придётся на второго. Такой разбор по этапам помогает не запутаться, когда условие описывает несколько периодов работы.

Зачем нужны такие задачи

Задачи на совместную работу развивают умение моделировать реальные ситуации: наполнение бассейна, печать тиража, строительство дома бригадой. Тот же подход применяют к задачам о трубах, насосах и бригадах рабочих, а также к задачам о движении, где скорость играет роль производительности. Освоив базовую схему, вы сможете решать целый класс похожих задач.

Кратко о главном

• Всю работу принимают за единицу.
• Производительность — это часть работы за единицу времени, равная 1/t.
• При совместной работе производительности складываются.
• Складывать времена работы исполнителей нельзя.
• Неизвестное время обозначают буквой и составляют уравнение по производительностям.