Задачи на составление систем уравнений

Задачи на составление систем уравнений

Задачи на составление систем уравнений — это текстовые задачи, в которых неизвестных две, и для их нахождения удобно ввести две переменные и записать два уравнения. Такие задачи решают по общему плану: вводят обозначения, составляют систему, решают её и проверяют ответ по смыслу задачи.

Общий план решения

1. Обозначить неизвестные буквами, например x и y.
2. По условию задачи составить два уравнения, связывающие эти переменные.
3. Решить систему методом подстановки или сложения.
4. Проверить, подходит ли ответ по смыслу задачи, и записать ответ с наименованиями.

Разобранный пример

В двух коробках лежит 30 карандашей. В первой коробке на 6 карандашей больше, чем во второй. Сколько карандашей в каждой коробке?

Пусть в первой коробке x карандашей, во второй — y. Составим систему:

x + y = 30

x - y = 6

Сложим уравнения: 2x = 36, значит x = 18. Тогда y = 30 - 18 = 12.

Ответ: в первой коробке 18 карандашей, во второй — 12.

Типичные виды условий

Как переводить слова в уравнения

Слово «сумма» или «всего» обычно даёт уравнение со знаком плюс. Фраза «на столько-то больше» превращается в разность. Слова «во столько-то раз больше» дают уравнение с умножением. Внимательное чтение условия — половина решения.

Частые ошибки. Нельзя пропускать введение обозначений — без чёткого «пусть x — это...» легко запутаться. Проверяйте ответ по смыслу: число карандашей или людей не может быть отрицательным или дробным. Не забывайте писать наименования в ответе.

Зачем нужны две переменные

Иногда задачу можно решить и одной переменной, но с двумя переменными условие записывается нагляднее и ближе к тексту. Это особенно полезно в задачах на смеси, движение и стоимость, где связей между величинами несколько.

Ещё один разобранный пример

Два билета в кино и одна порция попкорна стоят 700 рублей, а один билет и одна порция попкорна — 450 рублей. Сколько стоит билет и сколько попкорн?

Пусть билет стоит x рублей, попкорн — y рублей. Составим систему:

2x + y = 700

x + y = 450

Вычтем второе уравнение из первого: x = 250. Тогда y = 450 - 250 = 200. Ответ: билет стоит 250 рублей, попкорн — 200 рублей.

Почему важна проверка по смыслу

После решения системы всегда полезно спросить себя, разумен ли ответ. Если бы при решении получилось отрицательное число карандашей или дробное число людей, это сигнал об ошибке в составлении уравнений. Математическое решение и здравый смысл должны совпадать.

Кратко о главном

• Неизвестные обозначают буквами x и y.
• По условию составляют два уравнения и решают систему.
• «Сумма» даёт плюс, «на больше» — разность, «в раз больше» — умножение.
• Ответ проверяют по смыслу задачи.
• В ответе указывают наименования величин.