Биссектрисы углов треугольника
📏 Геометрия · 7 класс
Биссектрисы углов треугольника
Биссектриса угла треугольника — это отрезок биссектрисы угла, проведённый от вершины до пересечения с противоположной стороной. У каждого треугольника три биссектрисы — по одной из каждого угла. Они обладают важными свойствами, которые часто проверяют на экзаменах.
Что такое биссектриса
Биссектриса делит угол на два равных угла. В треугольнике биссектриса начинается в вершине угла и заканчивается на противолежащей стороне. Поэтому это именно отрезок, а не луч.
| Линия треугольника | Откуда | Куда |
|---|---|---|
| Биссектриса | из вершины угла | на противоположную сторону |
| Медиана | из вершины | в середину стороны |
| Высота | из вершины | перпендикулярно стороне |
Точка пересечения биссектрис
Все три биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке. Эта точка одинаково удалена от всех трёх сторон треугольника. Поэтому она является центром окружности, вписанной в треугольник.
Биссектрисы AA₁, BB₁, CC₁ треугольника ABC
пересекаются в одной точке I.
Расстояния от I до всех сторон равны.Свойства биссектрис
Любая точка биссектрисы угла одинаково удалена от сторон этого угла. Это свойство объясняет, почему точка пересечения биссектрис равноудалена от всех сторон треугольника.
- Биссектриса делит угол пополам.
- Точка биссектрисы равноудалена от сторон угла.
- Три биссектрисы пересекаются в одной точке.
- Эта точка — центр вписанной окружности.
Частая ошибка. Считать, что биссектриса всегда делит противоположную сторону пополам. Это верно только для равнобедренного треугольника, когда биссектриса проведена к основанию. В общем случае биссектриса и медиана — разные отрезки.
Биссектриса и углы
Поскольку биссектриса делит угол пополам, её часто используют для вычисления углов. Если угол треугольника равен 80°, то его биссектриса образует с каждой из сторон угол 40°. Зная углы треугольника, можно находить углы между биссектрисой и сторонами, а также углы внутри образующихся меньших треугольников.
- Биссектриса делит угол на два равных угла.
- Каждый из них равен половине исходного угла.
- Длина биссектрисы зависит от сторон и угла треугольника.
Биссектриса в равнобедренном треугольнике
В равнобедренном треугольнике биссектриса, проведённая из вершины к основанию, совпадает с медианой и высотой. Это особое свойство часто используют в доказательствах и вычислениях. Благодаря ему достаточно построить один отрезок, чтобы получить сразу три замечательные линии треугольника.
Кратко о главном
- Биссектриса угла треугольника делит угол пополам.
- Три биссектрисы пересекаются в одной точке.
- Эта точка равноудалена от сторон и является центром вписанной окружности.
- В равнобедренном треугольнике биссектриса к основанию совпадает с медианой и высотой.