Линейные неравенства с одной переменной

Что значит решить неравенство

Линейным неравенством с одной переменной называют неравенство вида ax > b, а также неравенства со знаками <, ≥ и ≤, где a и b — заданные числа. Решить неравенство — значит найти все значения переменной, при которых оно превращается в верное числовое неравенство. В отличие от уравнения, у неравенства обычно бесконечно много решений, поэтому ответ записывают не одним числом, а целым числовым промежутком. Решают линейные неравенства почти так же, как линейные уравнения, но с одной важной особенностью при умножении и делении на отрицательное число.

Алгоритм решения

1. Раскрыть скобки, если они есть.
2. Перенести слагаемые с переменной в одну часть, а числа — в другую, меняя знаки при переносе.
3. Привести подобные слагаемые в каждой части.
4. Разделить обе части на коэффициент при переменной.
5. Если делим на отрицательное число — поменять знак неравенства на противоположный.
6. Изобразить решение на числовой прямой и записать ответ в виде промежутка.

Изображение на числовой прямой

Строгие знаки > и < изображают выколотой точкой, то есть пустым кружком: само граничное число в ответ не входит. Нестрогие знаки ≥ и ≤ изображают закрашенной точкой: граничное число входит в ответ. Направление штриховки показывает, в какую сторону уходит множество решений.

Разбор примера

Решим неравенство со скобками. Сначала раскрываем скобки, затем собираем переменные в одной части, а числа — в другой.

Раскрываем скобки и переносим слагаемые: 3(x - 2) < x + 4, затем 3x - 6 < x + 4, затем 3x - x < 4 + 6, то есть 2x < 10, откуда x < 5. Ответ: промежуток (-∞; 5).

Пример с делением на отрицательное число

А теперь случай, где приходится менять знак неравенства. Это самый ответственный момент во всей теме, поэтому действуем внимательно.

Неравенство -2x ≥ 8. Делим обе части на -2 и обязательно меняем знак: получаем x ≤ -4. Ответ: промежуток (-∞; -4].

Обратите внимание: если бы мы по привычке оставили прежний знак, получили бы неверный ответ x ≥ -4, который не подходит к исходному неравенству. Проверить решение очень легко — достаточно подставить любое число из найденного промежутка в исходное неравенство и убедиться, что оно становится верным. Например, число -5 входит в ответ, и при подстановке получаем 10 ≥ 8 — это верно, значит решение найдено правильно.

Частые ошибки. Чаще всего забывают перевернуть знак при делении на отрицательное число. Также путают выколотую и закрашенную точку и неверно указывают направление луча на числовой прямой.

Кратко о главном

• Линейное неравенство решают почти как уравнение, но с учётом правил знаков.
• При делении или умножении на отрицательное число знак неравенства меняется.
• Строгий знак изображают выколотой точкой, нестрогий — закрашенной.
• Ответ записывают в виде числового промежутка.