Квадратичная функция
📐 Алгебра · 8 класс
Что такое квадратичная функция
Квадратичной называют функцию вида y = ax² + bx + c, где a, b, c — числа и a ≠ 0 (если a = 0, функция перестаёт быть квадратичной). Графиком квадратичной функции является особая кривая — парабола.
Ветви параболы
Направление ветвей зависит от знака коэффициента a. Если a > 0, ветви направлены вверх (парабола «улыбается»). Если a < 0, ветви направлены вниз. Чем больше модуль a, тем «уже» парабола.
| Знак a | Ветви | Точка вершины |
|---|---|---|
| a > 0 | вверх | наименьшее значение функции |
| a < 0 | вниз | наибольшее значение функции |
Вершина и ось симметрии
Вершина параболы — это её самая нижняя (или верхняя) точка. Абсциссу вершины находят по формуле x₀ = −b / (2a), а ординату — подставив x₀ в функцию: y₀ = y(x₀). Через вершину проходит вертикальная прямая x = x₀ — это ось симметрии параболы: левая и правая ветви зеркальны относительно неё.
Пошаговый пример
Найдём вершину параболы y = x² − 4x + 1.
Дано: y = x² − 4x + 1
a = 1, b = −4, c = 1.
Шаг 1. Абсцисса вершины:
x₀ = −b / (2a) = −(−4) / (2·1)
x₀ = 4 / 2 = 2
Шаг 2. Ордината вершины:
y₀ = 2² − 4·2 + 1 = 4 − 8 + 1 = −3
Шаг 3. Так как a = 1 > 0, ветви вверх,
вершина (2; −3) — низшая точка.
Ось симметрии: x = 2.
Ответ: вершина (2; −3), ось x = 2.Пересечение с осями
Чтобы найти точку пересечения с осью y, подставляют x = 0 — получается y = c. Чтобы найти пересечения с осью x (нули функции), решают уравнение ax² + bx + c = 0. Если у него два корня, парабола пересекает ось в двух точках, если один — касается оси, если корней нет — не пересекает ось x вовсе. Эти точки сильно облегчают построение.
Как строить параболу
Сначала находят вершину и проводят ось симметрии. Затем находят точки пересечения с осями и берут несколько дополнительных значений x слева и справа от вершины, считают y и отмечают точки. Благодаря симметрии достаточно посчитать точки с одной стороны — с другой они расположатся зеркально относительно оси симметрии.
Сдвиг параболы
Простейшая квадратичная функция — это y = x² с вершиной в начале координат. Прибавляя или вычитая числа, параболу сдвигают: y = x² + 3 поднимает её на 3 вверх, а y = (x − 2)² сдвигает на 2 вправо. Любую квадратичную функцию можно представить в таком сдвинутом виде, выделив полный квадрат, — тогда координаты вершины видны сразу, без формулы.
Частые ошибки. 1) Теряют знак минус в формуле x₀ = −b/(2a): при b = −4 абсцисса равна +2, а не −2. 2) Подставляют x₀ не в саму функцию, а куда-то ещё, и получают неверную ординату. 3) Путают направление ветвей: вверх при a > 0, вниз при a < 0.Кратко о главном
- Квадратичная функция y = ax² + bx + c при a ≠ 0, её график — парабола.
- При a > 0 ветви вверх, при a < 0 — вниз.
- Абсцисса вершины: x₀ = −b/(2a), ордината — подстановкой x₀ в функцию.
- Ось симметрии — вертикальная прямая x = x₀ через вершину.
- Парабола симметрична, что упрощает её построение по точкам.