Сложение дробей с разными знаменателями
📐 Алгебра · 8 класс
Сложение алгебраических дробей
Складывать и вычитать рациональные дроби с одинаковым знаменателем просто: складываются числители, а знаменатель остаётся общим — a/c + b/c = (a+b)/c. Настоящие трудности начинаются, когда знаменатели разные. В этом случае напрямую складывать числители нельзя, и сначала приходится уравнивать знаменатели.
Главная идея
Правило. Чтобы сложить дроби с разными знаменателями, нужно привести их к общему знаменателю, а затем сложить полученные числители.
Общим знаменателем берут наименьшее общее кратное знаменателей. Чтобы его найти, каждый знаменатель раскладывают на множители, а затем собирают все различные множители, причём каждый берут в наибольшей встретившейся степени. Такой общий знаменатель не содержит лишнего и делает вычисления короче.
Порядок действий
- Разложить каждый знаменатель на множители.
- Составить общий знаменатель из всех различных множителей в наибольшей степени.
- Найти дополнительный множитель для каждой дроби, поделив общий знаменатель на знаменатель этой дроби.
- Домножить числители на эти дополнительные множители.
- Сложить числители, привести подобные слагаемые и при возможности сократить результат.
Разбор примера
Сложим две дроби с разными знаменателями x и x+2:
1/x + 1/(x+2) = (x+2)/(x(x+2)) + x/(x(x+2)) = (2x+2)/(x(x+2))Общий знаменатель здесь — произведение x(x+2). Первую дробь домножили на дополнительный множитель (x+2), вторую — на множитель x. После этого числители уже можно сложить, ведь знаменатель у обеих дробей стал одинаковым.
| Дробь | Знаменатель | Дополнительный множитель |
|---|---|---|
1/x | x | x+2 |
1/(x+2) | x+2 | x |
Частые ошибки. Нельзя складывать числители, не приведя дроби к общему знаменателю. Также нельзя «сокращать» отдельные слагаемые в числителе — сокращают только общий множитель всей дроби, а не часть суммы. И обязательно нужно следить за знаками при вычитании: минус относится ко всему числителю вычитаемой дроби, поэтому его берут в скобки.
Случай противоположных знаменателей
Если знаменатели отличаются только знаком, например x-3 и 3-x, удобно вынести минус: 3-x = -(x-3). Тогда у дробей появляется одинаковый множитель в знаменателе, и общий знаменатель находится сразу, без лишних домножений. Этот приём часто экономит много времени.
Кратко о главном
- Дроби с одинаковым знаменателем складывают по числителям.
- Для разных знаменателей сначала ищут общий знаменатель.
- Общий знаменатель — наименьшее общее кратное знаменателей.
- Каждую дробь домножают на свой дополнительный множитель.
- При вычитании числитель берут в скобки и следят за знаком.
- Полученный результат стараются сократить.