График функции игрек равно модуль икс
📐 Алгебра · 8 класс
График функции игрек равно модуль икс
Функция y = |x| ставит в соответствие каждому числу его модуль — расстояние от нуля до этого числа на координатной прямой. Модуль никогда не бывает отрицательным, поэтому все значения этой функции неотрицательны, а её график имеет характерную форму «уголка», направленного вверх. Это одна из важнейших элементарных функций, и её график нужно уметь строить наизусть.
Как раскрывается модуль
По определению модуля функцию записывают двумя формулами в зависимости от знака переменной:
y = x, если x ≥ 0
y = −x, если x < 0Значит, при неотрицательных x график совпадает с прямой y = x, а при отрицательных — с прямой y = −x. Две полупрямые сходятся в начале координат и образуют симметричный уголок.
Таблица значений
x | −3 | −1 | 0 | 1 | 3 |
|---|---|---|---|---|---|
y = |x| | 3 | 1 | 0 | 1 | 3 |
Видно, что значения при противоположных x совпадают: |−3| = |3| = 3. Именно поэтому график симметричен относительно оси игрек.
Свойства графика
- Область определения — все числа, область значений — неотрицательные числа.
- График симметричен относительно оси игрек.
- Наименьшее значение равно нулю и достигается в точке
(0; 0). - Функция убывает на отрицательной полуоси и возрастает на положительной.
Разобранный пример
Построим график функции y = |x| − 2. Это график y = |x|, сдвинутый на 2 единицы вниз. Вершина «уголка» переходит из точки (0; 0) в точку (0; −2), а ветви остаются под теми же углами.
x = 0 → y = −2
x = 2 → y = 0
x = −2 → y = 0График пересекает ось икс в точках (−2; 0) и (2; 0), а его самая низкая точка теперь лежит ниже оси икс.
Связь с уравнениями с модулем
График y = |x| помогает наглядно решать уравнения и неравенства с модулем. Например, решение уравнения |x| = 3 — это абсциссы точек пересечения графика y = |x| с прямой y = 3. Таких точек две: x = −3 и x = 3. А неравенству |x| < 3 отвечают те значения, при которых уголок проходит ниже прямой, то есть промежуток от −3 до 3. Так геометрический образ функции превращается в удобный способ проверки алгебраических решений.
Правило. График y = |x| — это два луча из начала координат, симметричных относительно оси игрек. Прибавление числа сдвигает «уголок» вверх или вниз, но сами значения модуля остаются неотрицательными.Частые ошибки. Рисуют график ниже оси икс там, где модуль обязан быть неотрицательным; забывают про симметрию относительно оси игрек; путают сдвиг по вертикали и по горизонтали.
Кратко о главном
y = |x|состоит из двух лучей и имеет форму уголка.- Значения функции всегда неотрицательны.
- График симметричен относительно оси игрек.
- Наименьшее значение, равное нулю, достигается в начале координат.