График функции игрек равно икс в квадрате

График функции игрек равно икс в квадрате

Функция y = x^2 — это простейшая квадратичная функция. Её график называют параболой, и именно из неё с помощью растяжений и сдвигов получаются графики всех остальных квадратичных функций. Поэтому понимание базовой параболы — основа всей темы о квадратичной функции.

Как строится парабола

Чтобы построить график, составляют таблицу значений: подставляют несколько значений переменной, вычисляют соответствующие значения функции, отмечают точки и соединяют их плавной линией.

Свойства функции

• Область определения — все действительные числа.
• Область значений — только неотрицательные числа, то есть y ≥ 0.
• Наименьшее значение y = 0 достигается в точке x = 0 — это вершина параболы.
• График симметричен относительно оси y.
• При x < 0 функция убывает, а при x > 0 возрастает.

Правило. Вершина параболы y = x^2 находится в начале координат, а её ветви направлены вверх. Ось симметрии — вертикальная прямая x = 0, относительно которой левая и правая части графика зеркальны.

Разбор примера

Найдём значение функции в нецелой точке:

Поскольку график симметричен относительно оси y, точка (-2,5; 6,25) тоже принадлежит параболе. Таким образом, по одной вычисленной точке сразу получают вторую, симметричную ей.

Частые ошибки. Считают, что при отрицательных значениях переменной значения функции тоже отрицательны. На самом деле квадрат любого числа неотрицателен, поэтому вся парабола лежит не ниже оси абсцисс. Ещё одна ошибка — строить график по слишком малому числу точек, из-за чего теряется его плавная форма.

Влияние коэффициента

Если перед квадратом стоит множитель, как в функции y = ax^2, форма параболы меняется. При a > 1 парабола становится уже и круче, при 0 < a < 1 — шире и более пологой. Если же a < 0, ветви параболы направлены вниз, и вершина становится не наименьшей, а наибольшей точкой графика. Но во всех этих случаях вершина по-прежнему лежит в начале координат, а ось симметрии остаётся вертикальной прямой x = 0.

Зачем нужна базовая парабола

Графики вида y = ax^2 + bx + c получаются из y = x^2 растяжением вдоль оси и сдвигами по осям. Поняв, как устроена базовая парабола, легко представить себе график любой квадратичной функции, найти её вершину и направление ветвей.

Кратко о главном

• График функции y = x^2 — парабола с ветвями вверх.
• Вершина находится в начале координат, ось симметрии x = 0.
• Область значений: y ≥ 0.
• Функция убывает при x < 0 и возрастает при x > 0.
• График симметричен относительно оси y.
• Из этой параболы строят все квадратичные функции.