Функция обратной пропорциональности и её график

Функция обратной пропорциональности

Функцией обратной пропорциональности называют функцию, заданную формулой y = k / x, где k — отличное от нуля число, а x не равен нулю. Число k называют коэффициентом обратной пропорциональности. Такая функция описывает связь величин, у которых произведение постоянно: например, при постоянном пути скорость и время связаны обратной пропорциональностью, ведь их произведение равно длине пути.

Область определения

Так как на ноль делить нельзя, переменная x может принимать любые значения, кроме нуля. Значение y = 0 функция тоже не принимает, потому что дробь с ненулевым числителем не бывает равна нулю. Поэтому графику не принадлежат точки на осях координат.

График — гипербола

Графиком функции является гипербола — кривая из двух ветвей. Расположение ветвей зависит от знака коэффициента k.

Разобранный пример

Построим график функции y = 6 / x. Составим таблицу значений:

x: 1 2 3 6

y: 6 3 2 1

Эти точки лежат в первой четверти. Симметричные им точки при отрицательных x дают вторую ветвь в третьей четверти. Например, при x = -2 получаем y = -3. Чем больше по модулю значение x, тем ближе кривая подходит к горизонтальной оси, а чем ближе x к нулю, тем дальше уходит ветвь вдоль вертикальной оси. Самих осей кривая при этом никогда не пересекает.

Свойства функции

• График симметричен относительно начала координат.
• Оси координат являются асимптотами — кривая бесконечно к ним приближается, но не касается.
• Функция нечётная: y(-x) = -y(x).
• На всей области определения функция не имеет ни наибольшего, ни наименьшего значения.

Связь с уравнением

Если нужно понять, где график функции y = 6 / x пересекается с прямой, например y = x + 1, приравнивают правые части и решают уравнение. Это приводит к дробному рациональному, а после преобразований — к квадратному уравнению. Так график гиперболы связан с уже изученными уравнениями.

Как влияет коэффициент

Чем больше модуль коэффициента k, тем дальше ветви гиперболы расположены от начала координат. Сравним функции y = 1 / x и y = 8 / x: вторая гипербола проходит дальше от осей, потому что при тех же значениях x её значения по модулю больше. Знак коэффициента отвечает за четверти, а модуль — за то, насколько круто изгибается кривая.

Где встречается такая зависимость

Обратная пропорциональность описывает многие реальные ситуации. При постоянной площади прямоугольника его длина и ширина связаны формулой обратной пропорциональности. При неизменном объёме работы число рабочих и затраченное время также обратно пропорциональны: чем больше рабочих, тем меньше времени уйдёт на ту же работу. Понимание графика помогает быстро оценивать такие зависимости.

Частые ошибки. Нельзя соединять две ветви гиперболы непрерывной линией через ось: при x = 0 функция не определена. Также важно помнить, что график не касается осей, а лишь неограниченно к ним приближается.

Кратко о главном

• Функция обратной пропорциональности задаётся формулой y = k / x.
• Переменная x не равна нулю.
• График — гипербола из двух ветвей.
• При k > 0 ветви в первой и третьей четвертях, при k < 0 — во второй и четвёртой.