Неполные квадратные уравнения

Какие уравнения называют неполными

Квадратным называют уравнение вида ax^2 + bx + c = 0, где a ≠ 0. Числа a, b и c называют коэффициентами: a — старший, b — второй, c — свободный член. Если хотя бы один из коэффициентов b или c равен нулю, уравнение называют неполным. Старший коэффициент a нулём быть не может, иначе уравнение перестанет быть квадратным. Неполные уравнения встречаются очень часто, и решать их через общую формулу корней с дискриминантом не нужно — есть более короткие и быстрые приёмы, которые экономят время на контрольных.

Три вида неполных уравнений

Уравнение вида ax^2 + c = 0

Переносим свободный член в правую часть и делим обе части на a. Получаем равенство вида x^2 = -c/a. Дальнейший ход решения целиком зависит от знака правой части, ведь квадрат числа не может быть отрицательным.

• если правая часть положительна, есть два корня x = ±√(-c/a);
• если правая часть равна нулю, корень один: x = 0;
• если правая часть отрицательна, корней нет, потому что квадрат не бывает отрицательным.

Разберём оба случая на числах. В первом примере правая часть положительна, поэтому получаются два противоположных корня. Во втором примере правая часть отрицательна, и решений нет вовсе.

2x^2 - 18 = 0 → x^2 = 9 → x = 3 или x = -3.

x^2 + 4 = 0 → x^2 = -4 → корней нет, ведь квадрат не может равняться отрицательному числу.

Уравнение вида ax^2 + bx = 0

Здесь общий множитель x выносят за скобки. Произведение двух множителей равно нулю в том и только том случае, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Поэтому уравнение распадается на два простых условия.

3x^2 - 12x = 0, выносим множитель: x(3x - 12) = 0. Произведение равно нулю, значит x = 0 или 3x - 12 = 0, то есть x = 4. Получаем два корня.

Очень важно не делить обе части уравнения на x: при таком делении бесследно теряется корень x = 0. У уравнения этого вида корень x = 0 присутствует всегда, и рядом с ним обязательно есть ещё один корень, равный -b/a. Поэтому правильный приём — именно вынесение множителя, а не сокращение.

Частые ошибки. Нельзя сокращать уравнение на x — потеряете нулевой корень. При получении равенства x^2 = число не забывайте про два знака корня. А если справа оказалось отрицательное число, не выдумывайте корней: их попросту нет.

Кратко о главном

• Неполное квадратное уравнение — это уравнение, в котором b = 0 или c = 0.
• Уравнение ax^2 + c = 0 решают извлечением корня; корней может быть два, один или ни одного.
• Уравнение ax^2 + bx = 0 решают вынесением x за скобки, корень x = 0 присутствует всегда.
• Делить уравнение на переменную нельзя — теряется один из корней.