График функции игрек равно а делить на икс

Функция обратной пропорциональности

Функция вида y = a/x, где a ≠ 0, называется обратной пропорциональностью. Её график — гипербола, состоящая из двух ветвей. Эта функция показывает, что при увеличении x значение y уменьшается так, что их произведение остаётся постоянным: x · y = a. Такая зависимость встречается в задачах на движение, работу и распределение, поэтому уметь читать её график очень важно.

Свойства функции

Область определения — все числа, кроме нуля, ведь делить на ноль нельзя. Множество значений — тоже все числа, кроме нуля. График не пересекает оси координат, а только приближается к ним. Оси координат служат асимптотами гиперболы: ветви подходят к ним сколь угодно близко, но никогда не касаются.

Знак a	Где ветви	Поведение
a > 0	I и III четверти	функция убывает на каждой ветви
a < 0	II и IV четверти	функция возрастает на каждой ветви

Как строить график

1. Составьте таблицу значений, подставляя удобные x, включая отрицательные.
2. Отметьте полученные точки на координатной плоскости.
3. Плавно соедините точки, не доводя линии до осей.
4. Постройте вторую ветвь симметрично относительно начала координат.

Например, для y = 6/x: при x = 1 получаем y = 6, при x = 2 — y = 3, при x = 3 — y = 2, при x = 6 — y = 1. Произведение всегда равно 6. Для отрицательных x значения тоже отрицательны: при x = -2 получаем y = -3.

Чтение графика

По графику можно определить знак коэффициента: если ветви расположены в I и III четвертях, то a положительно. Чем больше модуль a, тем дальше ветви отходят от начала координат. Эти наблюдения помогают сравнивать разные гиперболы.

Запомните: гипербола симметрична относительно начала координат. Точка (0; 0) не принадлежит графику. Частая ошибка — соединить две ветви линией через начало координат, чего делать нельзя.

Применение в задачах

Обратная пропорциональность описывает многие реальные зависимости. Например, при постоянном пути скорость и время связаны как v = S/t: чем больше время, тем меньше скорость. График такой зависимости — ветвь гиперболы в первой четверти, ведь и скорость, и время положительны.

Сравнение гипербол

Если сравнить графики y = 2/x и y = 8/x, то вторая гипербола проходит дальше от начала координат, потому что её коэффициент больше. Зная эту закономерность, можно по расположению ветвей оценить значение коэффициента, не вычисляя его точно, а лишь сравнивая графики между собой.

Кратко о главном

• Функция y = a/x задаёт гиперболу из двух ветвей.
• Область определения — все числа, кроме нуля.
• При a > 0 ветви в I и III четвертях, при a < 0 — во II и IV.
• Оси координат — асимптоты графика.
• График симметричен относительно начала координат.