Задачи на движение, сводящиеся к квадратным уравнениям
📐 Алгебра · 8 класс
Задачи на движение и квадратные уравнения
Многие текстовые задачи на движение приводят к квадратному уравнению. Чаще всего это происходит, когда величины связаны через дробь — время выражается как путь, делённый на скорость. Главное в таких задачах — грамотно ввести переменную и аккуратно связать величины формулой пути.
Основные формулы
Связь величин. Расстояние, скорость и время связаны равенствомs = v · t, откудаt = s/vиv = s/t.
Чаще всего в задаче неизвестна скорость или время, а в условии есть разность или сумма этих величин для двух участков пути. Именно эта разность и превращается в уравнение, которое после преобразований становится квадратным.
Порядок решения
- Обозначить искомую величину буквой, обычно скорость или время.
- Выразить время или скорость для каждого этапа движения через эту букву.
- Составить уравнение по условию задачи, опираясь на разность или сумму времён.
- Привести уравнение к квадратному и решить его.
- Отбросить посторонние корни, не имеющие смысла, и записать ответ.
| Участок | Расстояние | Скорость | Время |
|---|---|---|---|
| Туда | 120 | v | 120/v |
| Обратно | 120 | v+10 | 120/(v+10) |
Разбор примера
Автомобиль проехал 120 км, а обратно ехал на 10 км/ч быстрее и затратил на 1 час меньше. Найти первоначальную скорость.
120/v - 120/(v+10) = 1
120(v+10) - 120v = v(v+10)
1200 = v^2 + 10v
v^2 + 10v - 1200 = 0
v_1 = 30, v_2 = -40Решив квадратное уравнение, получаем два корня. Скорость не может быть отрицательной, поэтому корень v = -40 отбрасываем как не имеющий смысла. Остаётся ответ v = 30 км/ч.
Частые ошибки. Не проверяют корни на смысл: отрицательная скорость или отрицательное время невозможны и должны отбрасываться. Также путают, какой участок проходится быстрее, и неверно ставят знак разности времён. Поэтому полезно сначала рассуждать словами: где времени уходит больше, а где меньше.
Другие виды задач
К квадратным уравнениям приводят не только задачи на движение. Похожим образом решают задачи на совместную работу, где время выполнения выражают как объём работы, делённый на производительность, а также задачи на проценты и геометрические задачи про площади. Во всех этих случаях схема одинакова: вводят переменную, выражают через неё нужные величины, составляют уравнение по условию и обязательно проверяют корни на смысл. Умение составлять и решать такие уравнения — одно из главных в курсе алгебры 8 класса.
Кратко о главном
- Движение описывается формулой
s = v · t. - Время участка выражают как
s/v. - По условию составляют уравнение, часто дробное и квадратное.
- После преобразований получают квадратное уравнение.
- Корни проверяют на физический смысл.
- Отрицательные скорость и время отбрасывают.