Стандартный вид числа

Зачем нужен стандартный вид числа

В физике, химии и астрономии часто встречаются числа с огромным количеством нулей: масса электрона, расстояние от Земли до далёких звёзд, число молекул в небольшой порции вещества. Записывать такие числа обычным способом неудобно: легко ошибиться в количестве нулей и трудно сравнивать величины между собой на глаз. Чтобы числа стали компактными, наглядными и удобными для сравнения, используют запись в стандартном виде, которая опирается на изученную степень с целым показателем. Эта форма записи принята во всём мире и применяется в любых научных расчётах.

Стандартным видом числа называют его запись в форме a · 10^n, где 1 ≤ a < 10, а n — целое число. Число a называют мантиссой, а n — порядком числа.

Большие и малые числа

Для больших чисел порядок положительный, а для малых чисел, которые меньше единицы, порядок отрицательный. Чтобы найти порядок, надо сосчитать, на сколько разрядов нужно передвинуть запятую, чтобы перед ней осталась ровно одна ненулевая цифра. Если запятую двигают влево, порядок положительный, если вправо — отрицательный.

Как привести число к стандартному виду

Запятую переносят так, чтобы получилось число от единицы (включительно) до десяти (не включая), а количество перенесённых разрядов записывают показателем степени десяти. Действуют по простому правилу: сдвиг влево даёт положительный показатель, сдвиг вправо — отрицательный.

62 000 = 6,2 · 10^4 — запятую сдвинули на 4 разряда влево, поэтому показатель положительный.

0,00081 = 8,1 · 10^(-4) — запятую сдвинули на 4 разряда вправо, поэтому показатель отрицательный.

Действия с числами в стандартном виде

Работать с такими числами легко, если пользоваться свойствами степеней. При умножении мантиссы перемножают, а показатели степеней складывают. При делении мантиссы делят, а показатели вычитают. Это намного быстрее, чем считать с длинными цепочками нулей.

(3 · 10^5) · (2 · 10^4) = 6 · 10^9 — мантиссы перемножили, показатели сложили.

(8 · 10^7) : (2 · 10^3) = 4 · 10^4 — мантиссы разделили, показатели вычли.

Если после действия мантисса вышла за пределы промежутка от единицы до десяти, результат снова приводят к стандартному виду. Покажем это на примере, где произведение мантисс оказалось равно двадцати.

(5 · 10^3) · (4 · 10^2) = 20 · 10^5 = 2 · 10^6

Здесь число 20 мы записали как 2 · 10^1 и прибавили эту единицу к показателю. Такой приём называют нормировкой результата, и его выполняют в самом конце вычислений.

Частые ошибки. Мантисса обязана быть не меньше единицы и строго меньше десяти: записи вида 0,5 · 10^4 или 15 · 10^3 стандартным видом не являются. У чисел, меньших единицы, показатель отрицательный, а не положительный, и наоборот.

Кратко о главном

• Стандартный вид числа: a · 10^n, где 1 ≤ a < 10, а n целое.
• Для больших чисел порядок положительный, для дробных меньше единицы — отрицательный.
• Показатель равен числу разрядов сдвига запятой.
• При умножении показатели складывают, при делении вычитают, а результат при необходимости снова приводят к стандартному виду.