Приближённые вычисления и погрешность
📐 Алгебра · 8 класс
Точные и приближённые значения
В вычислениях часто используют не точные, а приближённые значения — например, когда число записано в виде бесконечной десятичной дроби или получено измерением. Длину стола, массу тела, значение корня из двух нельзя записать совершенно точно, поэтому пользуются приближениями. Чтобы оценить, насколько приближённое значение отличается от точного, вводят понятия погрешности.
Приближённое значение чаще всего получают округлением. При округлении сохраняют нужное число знаков, ориентируясь на следующую цифру. Различают приближение с недостатком (когда взяли меньше точного) и с избытком (когда взяли больше).
Правило округления
Если первая отбрасываемая цифра меньше 5, предыдущую цифру оставляют без изменения. Если она равна 5 или больше, предыдущую цифру увеличивают на единицу.
Например, число 3.14159 при округлении до сотых даёт 3.14, а до десятых — 3.1. Число 2.78 при округлении до десятых даёт 2.8, потому что отбрасываемая цифра 8 больше пяти.
Абсолютная и относительная погрешность
| Понятие | Смысл |
|---|---|
| Абсолютная погрешность | Модуль разности точного и приближённого значений |
| Относительная погрешность | Отношение абсолютной погрешности к модулю значения |
Абсолютную погрешность находят так:
абс. погрешность = |a - x|, где a — точное значение, x — приближённое.
Относительную погрешность обычно выражают в процентах:
отн. погрешность = (абс. погрешность / |a|) * 100%
Разобранный пример
Пусть точное значение равно a = 4.7, а приближённое после округления x = 5. Тогда:
абс. = |4.7 - 5| = 0.3
отн. = (0.3 / 4.7) * 100% ≈ 6.4%
Относительная погрешность лучше показывает качество приближения, потому что учитывает величину самого числа: одна и та же абсолютная погрешность для большого числа менее заметна, чем для маленького.
Почему важна относительная погрешность
Сравним два измерения. В первом длину 200 метров измерили с абсолютной погрешностью 1 метр, во втором длину 2 метра измерили с той же погрешностью 1 метр. Абсолютная погрешность одинаковая, но относительные совсем разные:
первое: (1 / 200) * 100% = 0.5%
второе: (1 / 2) * 100% = 50%
Видно, что первое измерение гораздо точнее, хотя абсолютная погрешность совпадает. Поэтому качество измерений оценивают именно относительной погрешностью.
Частые ошибки. При округлении смотрят только на первую отбрасываемую цифру, а не на все сразу. Относительную погрешность делят на модуль значения, а не наоборот. Результат вычислений нельзя записывать с большей точностью, чем у исходных данных.
Кратко о главном
- Приближённое значение получают округлением.
- Абсолютная погрешность — модуль разности значений.
- Относительная погрешность — отношение абсолютной к модулю значения.
- Относительная погрешность точнее оценивает качество приближения.