Наибольшее и наименьшее значение функции
📐 Алгебра · 8 класс
Наибольшее и наименьшее значение функции
Наибольшее значение функции на промежутке — это самое большое из всех её значений на этом промежутке, а наименьшее значение — самое маленькое. В 8 классе такие задачи чаще всего решают для квадратичной функции, у которой экстремум достигается в вершине параболы. Это прямое применение знаний о вершине и направлении ветвей.
Где искать экстремум параболы
У функции y = ax² + bx + c вершина имеет абсциссу x_в = −b/(2a). Если a > 0 (ветви направлены вверх), то в вершине достигается наименьшее значение, а наибольшего значения на всей прямой нет. Если a < 0 (ветви направлены вниз), то в вершине достигается наибольшее значение.
Знак a | Ветви | В вершине |
|---|---|---|
a > 0 | вверх | наименьшее значение |
a < 0 | вниз | наибольшее значение |
Порядок действий
- Найти абсциссу вершины
x_в = −b/(2a). - Подставить её в функцию и вычислить
y_в. - По знаку
aопределить, наибольшее это или наименьшее значение. - Если задан отрезок, дополнительно проверить значения на его концах.
Разобранный пример
Найдём наименьшее значение функции y = 2x² − 8x + 5.
x_в = −(−8)/(2·2) = 8/4 = 2
y_в = 2·4 − 8·2 + 5 = 8 − 16 + 5 = −3
a = 2 > 0 → это наименьшее значение
Ответ: y_наим = −3 при x = 2Так как ветви параболы направлены вверх, наибольшего значения на всей числовой прямой у функции нет: чем дальше от вершины, тем больше значения, и они неограниченно растут.
Экстремум на отрезке
Если функция рассматривается не на всей прямой, а на отрезке, то наибольшее и наименьшее значения могут достигаться как в вершине, так и на концах отрезка. Сначала проверяют, попадает ли вершина внутрь отрезка. Если попадает, её значение сравнивают со значениями на концах и выбирают самое большое и самое маленькое. Если вершина вне отрезка, функция на нём монотонна, и тогда экстремальные значения находятся именно на концах. Поэтому на отрезке всегда вычисляют все «подозрительные» точки и сравнивают результаты между собой.
Пример на отрезке
Найдём наибольшее значение функции y = x² − 2x на отрезке от 0 до 3. Вершина в точке x_в = 1 даёт наименьшее значение −1. На концах: при x = 0 значение 0, при x = 3 значение 3. Наибольшее из чисел 0, −1 и 3 равно 3, поэтому наибольшее значение функции на отрезке равно 3 и достигается на правом конце.
Правило. Экстремум квадратичной функции на всей числовой прямой достигается только в вершине параболы. Если рассматривается отрезок, то наибольшее и наименьшее значения ищут и в вершине, и на концах отрезка.
Частые ошибки. Путают наибольшее и наименьшее при разных знаках a; подставляют абсциссу вершины не в ту формулу; на отрезке забывают проверить значения на концах.Кратко о главном
- Экстремум параболы достигается в её вершине.
- При ветвях вверх в вершине наименьшее значение, при ветвях вниз — наибольшее.
- Абсцисса вершины равна
−b/(2a). - На отрезке дополнительно проверяют значения на концах.