Координаты вершины параболы

Вершина параболы

Вершина параболы — это точка, в которой график квадратичной функции y = ax^2 + bx + c меняет направление движения. При a > 0 в ней достигается наименьшее значение функции, а при a < 0 — наибольшее. Зная вершину, легко строить весь график, ведь парабола симметрична относительно вертикальной прямой, проходящей через эту точку. Без знания вершины построение графика превращается в случайный набор точек.

Формулы координат

Абсцисса вершины находится по формуле x_0 = -b / (2a). Ордината вершины — это значение функции в этой точке: y_0 = y(x_0). Иногда ординату считают по отдельной формуле y_0 = -(b^2 - 4ac) / (4a), но на практике проще подставить найденную абсциссу в саму функцию и вычислить значение. Эти формулы напрямую следуют из выделения полного квадрата у трёхчлена.

Прямую x = x_0 называют осью симметрии параболы: левая и правая ветви расположены зеркально относительно неё, словно отражение в зеркале.

Разобранный пример

Найдём вершину параболы y = x^2 - 4x + 1. Здесь a = 1, b = -4, c = 1. Вычисляем абсциссу, а затем подставляем её в функцию:

Значит, вершина имеет координаты (2; −3). Так как a = 1 > 0, ветви параболы направлены вверх, и −3 — это наименьшее значение функции на всей числовой прямой.

Построение графика по вершине

Чтобы построить параболу, действуют по шагам. Сначала отмечают вершину. Затем проводят ось симметрии — вертикальную прямую через вершину. После этого берут несколько точек по одну сторону от оси и вычисляют их ординаты. Симметричные им точки по другую сторону имеют такие же ординаты, поэтому их можно отметить без вычислений.

Видно, что значения слева и справа от x = 2 повторяются: при x = 1 и x = 3 ордината равна −2, при x = 0 и x = 4 ордината равна 1. Это наглядно подтверждает симметрию параболы относительно оси.

Связь со знаком старшего коэффициента

• Если a > 0 — ветви направлены вверх, в вершине наименьшее значение.
• Если a < 0 — ветви направлены вниз, в вершине наибольшее значение.
• Чем больше модуль числа а, тем «уже» выглядит парабола; чем он меньше, тем шире ветви.

Эти свойства позволяют ещё до построения представить, как примерно расположен график: куда направлены ветви и где находится самая высокая или самая низкая точка.

Частые ошибки. Забывают знак минус в формуле абсциссы вершины. Делят коэффициент бэ на а, а не на 2a. Путают наибольшее и наименьшее значение, не глядя на знак старшего коэффициента. Ищут ординату вершины не через подстановку, а наугад.

Кратко о главном

• Абсцисса вершины параболы: x_0 = -b/(2a).
• Ордината вершины — значение функции в точке x_0.
• Через вершину проходит ось симметрии x = x_0.
• Знак коэффициента а определяет, где наибольшее, а где наименьшее значение функции.