Уравнения с двумя модулями

Что такое уравнение с двумя модулями

Модуль числа — это расстояние от числа до нуля на числовой прямой, всегда неотрицательное. В уравнениях с двумя модулями встречаются два выражения под знаком абсолютной величины, например |x - 1| + |x + 2| = 5. Чтобы решить такое уравнение, нужно избавиться от обоих модулей, рассмотрев знаки выражений на разных промежутках числовой прямой.

Метод промежутков

Каждое выражение под модулем меняет знак в своей точке перехода — там, где оно равно нулю. Эти точки разбивают числовую прямую на промежутки. На каждом промежутке знаки выражений известны, поэтому модули раскрываются однозначно. После раскрытия модулей получается обычное линейное уравнение, которое легко решить.

Промежуток	x - 1	x + 2
x < -2	минус	минус
-2 ≤ x < 1	минус	плюс
x ≥ 1	плюс	плюс

Правило раскрытия модуля

Если выражение под модулем неотрицательно, модуль просто убирают: |a| = a при a ≥ 0. Если выражение отрицательно, модуль меняет знак: |a| = -a при a < 0. На каждом промежутке мы заранее знаем знаки и потому раскрываем модули правильно.

Разбор примера

Решим |x - 1| + |x + 2| = 5. Точки перехода: x = 1 и x = -2.

1. При x < -2: оба выражения отрицательны, поэтому -(x-1) - (x+2) = 5, то есть -2x - 1 = 5, x = -3. Корень попадает в промежуток — подходит.
2. При -2 ≤ x < 1: получаем -(x-1) + (x+2) = 5, то есть 3 = 5 — равенство неверно, корней нет.
3. При x ≥ 1: (x-1) + (x+2) = 5, то есть 2x + 1 = 5, x = 2. Корень попадает в промежуток — подходит.

Ответ: x = -3 и x = 2. Можно проверить подстановкой: оба значения дают сумму модулей, равную 5.

Частая ошибка — раскрыть модули без учёта промежутка и забыть проверить, попадает ли найденный корень в рассматриваемый промежуток. Корень засчитывается, только если он лежит в нужном диапазоне.

Геометрический смысл

Уравнение |x - 1| + |x + 2| = 5 можно понимать геометрически: сумма расстояний от точки x до точек 1 и -2 равна 5. Расстояние между самими точками равно 3, а нам нужна сумма 5, то есть на 2 больше. Эти лишние две единицы делятся поровну и откладываются наружу, поэтому решения симметрично расположены за пределами отрезка.

Ещё один пример

Решим |x| + |x - 4| = 4. Точки перехода — 0 и 4. На промежутке от 0 до 4 сумма расстояний постоянна и равна 4, поэтому решением служит весь отрезок от 0 до 4. Этот случай показывает, что у уравнения с модулями может быть бесконечно много решений.

Кратко о главном

• Модуль — расстояние до нуля, всегда неотрицательно.
• Точки перехода делят прямую на промежутки.
• На каждом промежутке модули раскрывают по знаку выражений.
• Каждый корень проверяют на принадлежность промежутку.
• Найденные корни полезно проверить подстановкой.