Дробные рациональные уравнения

Что такое дробное рациональное уравнение

Уравнение называют дробным рациональным, если в нём есть переменная в знаменателе хотя бы одной дроби. Простейший пример — 1/(x-2) = 3. Такие уравнения отличаются от обычных одной важной особенностью: знаменатель ни при каких условиях не должен обращаться в ноль, ведь деление на ноль не определено. Именно поэтому решение дробного рационального уравнения всегда состоит из двух частей. Сначала надо найти корни, а затем обязательно проверить, что каждый из них допустим, то есть не обращает ни один знаменатель в ноль.

Область допустимых значений

Перед началом решения выясняют, при каких значениях переменной знаменатели не равны нулю. Эти запрещённые значения называют недопустимыми и исключают из рассмотрения. Если найденный корень совпадёт с одним из запрещённых значений, его придётся отбросить как посторонний — он не является решением уравнения, хотя и получился в ходе вычислений.

Правило. Дробь равна нулю тогда и только тогда, когда её числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю одновременно.

Алгоритм решения

1. Найти общий знаменатель всех дробей уравнения.
2. Записать условия: общий знаменатель не равен нулю — это и есть область допустимых значений.
3. Умножить обе части уравнения на общий знаменатель и получить целое уравнение.
4. Решить полученное целое уравнение.
5. Проверить каждый корень: входит ли он в область допустимых значений.

Разбор простого примера

Рассмотрим уравнение, где знаменатели одинаковы. В этом случае равны и числители, что заметно упрощает работу.

Уравнение x/(x-3) = 6/(x-3). Область допустимых значений: x ≠ 3. Числители при равных знаменателях равны, значит x = 6. Корень x = 6 допустим, поэтому ответ: x = 6.

Пример с посторонним корнем

А теперь случай, в котором один из полученных корней оказывается недопустимым. Именно такие задачи проверяют, понимаете ли вы смысл области допустимых значений.

Уравнение x^2/(x-2) = 4/(x-2). Область: x ≠ 2. Приравниваем числители: x^2 = 4, отсюда x = 2 или x = -2. Корень x = 2 запрещён условием, его отбрасываем. Ответ: x = -2.

Частые ошибки. Самая опасная ошибка — забыть про область допустимых значений и записать в ответ посторонний корень. Нельзя также умножать обе части на знаменатель, не убедившись, что он не равен нулю. Проверку корней нужно делать всегда, даже если кажется, что всё очевидно.

Кратко о главном

• Дробное рациональное уравнение содержит переменную в знаменателе.
• Сначала находят область допустимых значений: все знаменатели не равны нулю.
• Дробь равна нулю, когда её числитель равен нулю, а знаменатель — нет.
• Каждый найденный корень проверяют; совпавшие с запрещёнными значениями отбрасывают как посторонние.