Вынесение множителя из-под знака корня

Зачем выносить множитель из-под корня

Вынесение множителя из-под знака корня — это преобразование, при котором подкоренное число разбивают на произведение, где один из множителей является полным квадратом. Этот квадрат извлекают из-под корня, и выражение становится проще. Такой приём приводит корни к стандартному виду и позволяет складывать подобные слагаемые с корнями. Приём опирается на свойство арифметического квадратного корня:

sqrt(a*b) = sqrt(a) * sqrt(b), где a >= 0 и b >= 0.

Напомним, что арифметический квадратный корень из неотрицательного числа — это неотрицательное число, квадрат которого равен подкоренному. Поэтому все рассуждения ниже относятся только к неотрицательным подкоренным выражениям.

Полные квадраты, которые нужно помнить

Порядок действий

1. Разложить подкоренное число на множители так, чтобы выделить наибольший полный квадрат.
2. Применить свойство корня из произведения.
3. Извлечь корень из полного квадрата и записать множитель перед знаком корня.

Разобранный пример

Упростим sqrt(72). Выделяем наибольший полный квадрат — это 36:

sqrt(72) = sqrt(36 * 2) = sqrt(36) * sqrt(2) = 6 * sqrt(2)

Если бы мы выделили не наибольший квадрат, а, например, 4, то получили бы 2 * sqrt(18), и корень пришлось бы упрощать ещё раз. Поэтому удобнее сразу искать наибольший полный квадрат.

Теперь пример с переменной (при a >= 0):

sqrt(50 * a^2) = sqrt(25 * a^2 * 2) = 5 * a * sqrt(2)

Сложение корней после вынесения

Приём особенно полезен, когда нужно сложить корни. Сами по себе sqrt(8) и sqrt(18) не складываются, но после вынесения множителей у них появляется общая часть:

sqrt(8) + sqrt(18) = 2*sqrt(2) + 3*sqrt(2) = 5*sqrt(2)

Обратное действие

Существует и обратное действие — внесение множителя под корень. Чтобы внести положительный множитель под знак корня, его возводят в квадрат:

3 * sqrt(5) = sqrt(9 * 5) = sqrt(45)

Внесение под корень помогает сравнивать числа с корнями. Например, чтобы сравнить 2*sqrt(3) и 3*sqrt(2), вносим множители под корень: sqrt(12) и sqrt(18). Так как 12 < 18, то 2*sqrt(3) < 3*sqrt(2).

Частые ошибки. Под корень вносят только неотрицательный множитель: для отрицательного знак минус оставляют перед корнем. Также нельзя выносить из-под корня слагаемое — преобразование работает только для произведения, а не для суммы. Запись sqrt(a + b) не равна sqrt(a) + sqrt(b).

Кратко о главном

• Корень из произведения равен произведению корней.
• Выделяем наибольший полный квадрат и извлекаем его.
• Множитель перед корнем — это корень из полного квадрата.
• Приём помогает складывать и сравнивать выражения с корнями.
• Под корень вносим только неотрицательные множители.