Системы с квадратными уравнениями
📐 Алгебра · 8 класс
Системы, где есть квадратное уравнение
Иногда в системе одно уравнение линейное, а другое содержит вторую степень переменной — например, уравнение окружности или параболы. Такую систему называют системой с квадратным уравнением. Её решение — это все пары значений (x; y), которые одновременно удовлетворяют обоим уравнениям.
Основные способы решения
Чаще всего применяют метод подстановки: из линейного уравнения выражают одну переменную и подставляют в квадратное. Получается одно уравнение с одной переменной, как правило, квадратное. Реже используют метод сложения. Полезно понимать и графический смысл: решения — это точки пересечения двух графиков.
Геометрический смысл числа решений
| Геометрия | Сколько решений | Пример |
|---|---|---|
| Прямая пересекает параболу в двух точках | два решения | прямая проходит сквозь параболу |
| Прямая касается параболы | одно решение | прямая — касательная |
| Прямая не пересекает параболу | нет решений | прямая проходит мимо |
Разбор примера
Решим систему из линейного и квадратного уравнений методом подстановки.
Задача: решить систему
y = x²
y = x + 2
Шаг 1. Приравниваем правые части (оба равны y):
x² = x + 2.
Шаг 2. Переносим всё в одну сторону:
x² − x − 2 = 0.
Шаг 3. Находим корни. D = 1 + 8 = 9, корень из D = 3.
x1 = (1 − 3)/2 = −1; x2 = (1 + 3)/2 = 2.
Шаг 4. Находим y по уравнению y = x + 2:
при x = −1 получаем y = 1;
при x = 2 получаем y = 4.
Ответ: (−1; 1) и (2; 4).
Практическое правило. Каждому найденному значению x обязательно соответствует своё значение y — ответ записывают парами. Распространённая ошибка — найти иксы и забыть подставить их обратно для нахождения игреков.
Графический метод подробнее
Графический метод особенно нагляден, когда уравнения системы — это знакомые линии: прямая, парабола, окружность или гипербола. Чтобы решить систему графически, в одной координатной плоскости строят оба графика и отмечают точки их пересечения. Координаты каждой такой точки и есть решение системы. Минус метода в том, что он даёт приближённый ответ, если точки пересечения не попадают в узлы сетки. Поэтому графику доверяют для оценки числа решений, а точные значения находят алгебраически.
Системы из двух квадратных уравнений
Встречаются системы, где оба уравнения содержат вторую степень — например, две окружности или окружность и парабола. Их тоже решают подстановкой, но получившееся уравнение бывает сложнее. Иногда удобнее метод сложения: складывая или вычитая уравнения, можно убрать квадратичные члены и получить линейное соотношение между переменными. Затем его подставляют в одно из исходных уравнений.
Кратко о главном
- Система с квадратным уравнением содержит линейное и нелинейное уравнения.
- Удобнее всего метод подстановки: выразить переменную и подставить.
- Решения геометрически — это точки пересечения двух графиков.
- Число решений равно нулю, одному или двум в зависимости от взаимного расположения линий.
- Ответ записывают парами (x; y), не забывая найти оба значения.